Valor esperado de e^-2x

Question

Tengo el siguiente problema:

La expectativa de una variable aleatoria X con distribución exponencial es igual a 1/2. Calcula E[e^-2x].

La respuesta final es: 1/2

Ya sé que E[x] de una distribución exponencial es igual a 1/λ. Así que λ=2.

Eso hace que la función de densidad de probabilidad: f(x) = 2e^-2x

También sé que E[e^-2x] es igual a la integral de exp(2x)*f(x). Pero cuando resuelvo esta ecuación obtengo (-1/2)*exp(-4x).

¿Puedo recibir comentarios para obtener la solución definitiva?

Ter

Answer 1

$Ee^{-2X}=\int_0^{\infty} e^{-2x} 2 e^{-2x}dx=\frac 1 2 $ .

Answer 2

$$\mathbb{E}[e^{-2x}]=\int_0^{+\infty}2 e^{-4x}dx=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}4 e^{-4x}dx=\frac{1}{2}$$

la integral

$$\int_0^{+\infty}4 e^{-4x}dx=1$$

porque es la integral de un $Exp(4)$ en todo su ámbito

....de todas formas no es difícil calcularlo y comprobarlo

Answer 3

Se nos dice que $$X \sim \text{Exp}(\lambda)$$ Por lo tanto, $$\mathrm{E}[X]=\frac{1}{\lambda}$$ Para justificar esto, véase [aquí].( https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution ) Entonces, como se nos dice que $\mathrm{E}[X]=\frac{1}{2}$ concluimos que $\lambda=2$ . Así que $$f_X(x)=2e^{-2x}.$$ Entonces, utilizando LOTUS , $$\mathrm{E}[e^{-2X}]=\int_{0}^{\infty}{2e^{-2x}\cdot 2e^{-2x}\mathrm{d}x}=1.$$