Acoplamiento Yukawa de un escalar $SU(2)$ Triplete a un fermiónico zurdo $SU(2)$ Doblete

Question

Supongamos que tenemos una teoría de campos con un único campo escalar complejo $\phi$ y un único fermión de Dirac $\psi$ , ambos sin masa. Escribamos $\psi _L=\frac{1}{2}(1-\gamma ^5)\psi$ . Entonces, el acoplamiento de Yukawa del campo escalar al campo fermiónico zurdo debe ser de la forma $$g\overline{\psi}\psi \phi,$$ donde $g$ es la constante de acoplamiento. Hasta aquí, todo bien (al menos eso creo; por favor, corregidme si es incorrecto).

Ahora, introducimos la invariancia gauge en la teoría y exigimos que $\phi$ se transforman en un triplete y $\psi _L$ se transforman como un doblete bajo el grupo gauge $SU(2)$ . ¿Qué forma tiene ahora el lagrangiano? Mi confusión surge porque ahora, en particular, aunque $\phi$ se transforma como un escalar bajo el grupo de Lorentz, debe ser descrito por $3$ -para que pueda transformarse como un triplete bajo $SU(2)$ . Pero entonces, el término de acoplamiento de Yukawa mencionado anteriormente, tal como está escrito, ¡no es un número! Sé que esto tiene que ver con el hecho (creo) de que $\overline{2}\otimes 2$ se descompone en algo que implica la representación de tripletes de $SU(2)$ . Por desgracia, no sé lo suficiente sobre la teoría de la representación de $SU(2)$ para convertir esto en un término de acoplamiento Yukawa que tenga sentido.

Una vez más, debido a mi desconocimiento de la teoría de la representación de $SU(2)$ No sé cómo escribir la derivada covariante gauge correspondiente a la representación del triplete de $SU(2)$ . Si utilizamos las matrices de Pauli como base para $\mathfrak{su}(2)$ cómo es la representación del triplete de $SU(2)$ descrito en términos de las matrices de Pauli que actúan en un espacio vectorial complejo tridimensional?

Tampoco estoy seguro de lo que debería ocurrir exactamente con el término cinético del campo de los fermiones. Antes de insistir en la invariancia gauge, este término debería ser de la forma $$i\overline{\psi}\gamma ^\mu \partial _\mu \psi .$$ Sin embargo, como (creo) la invariancia gauge sólo se exige para $\psi _L$ , es de suponer que a este término le ocurre algo más complejo que $i\overline{\psi}\gamma ^\mu D_\mu \psi$ , donde $D_\mu$ es la derivada covariante gauge apropiada. En cambio, si este término cinético se escribe en la forma $$i\overline{\psi_L}\gamma ^\mu D_\mu \psi _L+i\overline{\psi _R}\gamma ^\mu \partial _\mu \psi _R?$$

Answer 1

Parece que quieres introducir la invariancia gauge en una teoría que no parece tener la necesidad de simetría global en primer lugar. Una forma de pensar en la invariancia gauge es que se "gaugea" la simetría global, y luego sólo se cambian los términos de las derivadas a derivadas covariantes como has mencionado. En otras palabras, sólo podemos preocuparnos por la simetría global por ahora y calibrarla al final si lo deseamos. Ahora, al menos en el término que escribiste

$$\phi \bar{\psi} \psi$$

no está claro cómo se contraen los índices. ¿Los $\phi$ y $\psi$ ¿tiene índices? Por ejemplo, podría hacer que el $\psi$ transformarse en menos de $SU(2)$ introduciendo una segunda copia del $\psi$ y sumar sobre ellos:

$$\phi \bar{\psi^a} \psi^a$$

pero ahora no puedo hacer el $\phi$ transformar porque no queda nada para contraer la $\phi$ índice con. Eso es,

$$\phi^b \bar{\psi^a} \psi^a$$

no es un singlete (un singlete no se transforma bajo la simetría ) por lo que no tiene ningún sentido como término en su lagrangiano. O puedes introducir un segundo espinor que sea un singlete bajo la simetría global para que tengas algo con lo que contraer tus índices escalares:

$$\phi^a \bar{\psi^a} \eta$$

Finalmente, si se quiere que un espinor se transforme como un triplete, o en el adjunto de $SU(2)$ se podría introducir el generador de SU(2) y contraer los índices de la siguiente manera:

$$\phi^a (t^a)^{bc} \bar{\psi^b} \psi^c = \phi^a \bar{\psi} t^a \psi$$

donde el $t^a$ está en la representación fundamental (o del doblete) para que podamos cambiar adecuadamente el índice adjunto por dos índices del doblete y obtener un singlete global para el lagrangiano.

Ahora, en cuanto a los términos cinéticos, como has mencionado, si quieres introducir la simetría gauge cambia la derivada regular por una derivada covariante.

$$\partial_\mu \phi^a \rightarrow D_\mu \phi^a =\partial_\mu \phi^a + i {A_\mu}^b (t^b)^{ac}\phi^c$$

donde el $t^a$ está en cualquier rep el $\phi^a$ se transforma en. Lo mismo ocurre con los campos de fermiones.

Sin embargo, hay una advertencia en todo esto: esta receta de medir ingenuamente una simetría global que he esbozado se rompe si la simetría global es "anómala". Es decir, los efectos mecánicos cuánticos rompen la simetría global ingenua y clásica. No voy a entrar en lo que es eso, pero manténgalo en el fondo de su mente por el momento y lea sobre ello cuando tenga una oportunidad.

Tengo el presentimiento de que querrás más información que esta, pero de momento me detengo aquí y si editas lo aclaro/añado.

EDIT: En retrospectiva, esto parece funcionar más fácilmente para $SU(2)$ representantes más fácil que otros grupos, ya que para $SU(2)$ el rep adjunto es el mismo que el rep triplete, así que puedo cambiar los índices del rep triplete por los del doblete utilizando los generadores $(t^a)^{ij}$ . No estoy seguro de que se pueda hacer este tipo de cosas para los grupos en general.