Si $A$ es un conjunto de primos que tiene una densidad asintótica positiva en el conjunto $\mathbb{P}$ de todos los primos, entonces la suma de los recíprocos de los elementos de $A$ diverge. Pues la existencia de la densidad asintótica implica la existencia de la densidad logarítmica, y estas dos densidades son iguales. La densidad logarítmica, si existe, se define como
$$\lambda := \lim_{x\to \infty} \frac{\sum_{\substack{p\in A \\ p \leqslant x}} \frac{1}{p}}{\sum_{\substack{p \in \mathbb{P} \\ p \leqslant x}} \frac{1}{p}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\log \log x} \sum_{\substack{p\in A \\ p \leqslant x}} \frac{1}{p}\,.$$
Si $\lambda > 0$ entonces claramente
$$\sum_{\substack{p \in A \\ p \leqslant x}} \frac{1}{p} \sim \lambda\log \log x$$
no tiene límites.
Una densidad asintótica positiva es más que necesaria para que la suma de los recíprocos sea divergente. Evidentemente, basta con que el conjunto tenga una densidad asintótica positiva superior densidad logarítmica, es decir
$$\lambda^{\ast} := \limsup_{x\to\infty} \frac{1}{\log \log x} \sum_{\substack{p\in A \\ p \leqslant x}} \frac{1}{p} > 0\,.$$
Sin embargo, no basta con que $A$ tiene una densidad asintótica superior positiva en $\mathbb{P}$ . Si $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de crecimiento suficientemente rápido, por ejemplo $a_k = 2^{k^2}$ entonces $A = \{ p \in \mathbb{P} : (\exists k)(a_k < p \leqslant ka_k)\}$ tiene una densidad asintótica superior positiva en $\mathbb{P}$ pero la suma de recíprocos converge. Si $\pi_A(x) = \operatorname{card}\:\{ p \in A : p \leqslant x\}$ entonces
$$\frac{\pi_A(ka_k)}{\pi(ka_k)} \geqslant \frac{\pi(ka_k) - \pi(a_k)}{\pi(ka_k)} = 1 - \frac{\pi(a_k)}{\pi(ka_k)} = 1 - \frac{a_k(\log k + \log a_k)}{ka_k\log a_k}(1+o(1)) \to 1,$$
por lo que la densidad asintótica superior de $A$ es $1$ . Pero a partir del teorema de los números primos con límites de error (no los más fuertes conocidos) obtenemos
$$\sum_{a_k < p \leqslant ka_k} \frac{1}{p} = \log \frac{\log (ka_k)}{\log a_k} + O\biggl(\frac{1}{(\log a_k)^2}\biggr) = \frac{\log k}{\log a_k} + O\biggl(\biggl(\frac{\log k}{\log a_k}\biggr)^2\biggr)\,,$$
así que
$$\sum_{p \in A} \frac{1}{p} < +\infty \iff \sum_k \frac{\log k}{\log a_k} < +\infty\,.$$
Por supuesto, tener una baja densidad asintótica en $\mathbb{P}$ es suficiente, ya que implica una densidad logarítmica inferior positiva y, por tanto, una densidad logarítmica superior positiva. Pero no es necesaria una densidad asintótica inferior positiva, ya que $\mathbb{P}\setminus A$ para lo anterior $A$ espectáculos.
