Para una familia de variables aleatorias, me preguntaba si la independencia y la independencia condicional bajo cualquier condición entre ellas se implican mutuamente.
Si no es así, ¿pueden estos dos conceptos implicarse mutuamente en algunos casos especiales?
Me gusta interpretar estos dos conceptos de la siguiente manera:
Eventos $A,B$ son independientes si se sabe que $A$ sucedido no te diría nada sobre si $B$ ocurrido (o viceversa). Por ejemplo, suponga que está considerando apostar algo de dinero en el evento $B$ . Llega algún infiltrado y se ofrece a pasarle información (a cambio de una cuota) sobre si $A$ que ha sucedido. Diciendo $A,B$ son independientes es decir que esta información privilegiada sería totalmente irrelevante, y no se pagaría ninguna cantidad de dinero por ella.
Eventos $A,B$ son condicionalmente independientes dado un tercer evento $C$ significa lo siguiente: Suponga que ya sabe que $C$ ha sucedido. Entonces, saber si $A$ sucedido no transmitiría ninguna más información sobre si $B$ sucedido - cualquier información relevante que pueda ser transmitida por $A$ ya es conocido por usted, porque sabe que $C$ que ha sucedido.
Para ver que la independencia no implica independencia condicional, funciona uno de mis contraejemplos sencillos favoritos. Lanza dos monedas justas. Dejemos que $A$ sea el caso de que la primera moneda salga cara, $B$ el caso de que la segunda moneda salga cara, $C$ el caso de que las dos monedas sean iguales (ambas caras o ambas colas). Está claro que $A$ y $B$ son independientes, pero no son condicionalmente independientes dado $C$ - si sabes que $C$ ha sucedido, entonces sabiendo $A$ te dice mucho sobre $B$ (de hecho, le diría que $B$ está garantizado). Si quiere un ejemplo con variables aleatorias, considere los indicadores $1_A, 1_B, 1_C$ .
Lo interesante es que $A,B,C$ son independientes entre sí, pero no son independientes entre sí (ya que dos de ellas determinan la tercera).
Un buen contraejemplo en la otra dirección es el siguiente. Tenemos una bolsa que contiene dos monedas de aspecto idéntico. Una de ellas (la moneda nº 1) está sesgada de forma que sale cara el 99% de las veces, y la moneda nº 2 sale cruz el 99% de las veces. Sacaremos una moneda de la bolsa al azar y la lanzaremos dos veces. Sea $A$ sea el caso de que el primer lanzamiento salga cara, $B$ el caso de que el segundo lanzamiento sea cara. Está claro que no son independientes: puedes hacer un cálculo si quieres, pero la idea es que si el primer lanzamiento salió cara, es una prueba contundente de que sacaste la moneda nº 1, y por lo tanto es mucho más probable que el segundo lanzamiento salga cara.
Pero dejemos que $C$ sea el caso de que se haya extraído la moneda nº 1 (donde $P(C)=1/2$ ). Ahora $A$ y $B$ son condicionalmente independientes dado $C$ Si sabes que $C$ sucedió, entonces sólo estás haciendo un experimento en el que tomas una moneda con 99% de cabezas y la lanzas dos veces. Tanto si la primera vez sale cara como si sale cruz, la moneda no tiene memoria, por lo que la probabilidad de que la segunda salga cara sigue siendo del 99%. Por lo tanto, si ya sabes qué moneda tienes, saber cómo salió la primera no sirve de nada para predecir la segunda.
La independencia no implica independencia condicional: por ejemplo, las variables aleatorias independientes rara vez son independientes condicionalmente en su suma o en su máximo.
La independencia condicional no implica independencia: por ejemplo, variables aleatorias condicionalmente independientes y uniformes en $(0,u)$ donde $u$ es uniforme en $(0,1)$ no son independientes.
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