Derivar el Nullstellensatz débil a partir del fuerte

Question

Me gustaría derivar el Nullstellensatz débil

Un ideal $J\subset K[x_1,\dots,x_n]$ tiene un cero común exactamente si es un ideal propio.

del fuerte

$\sqrt{J} = I(V(J))$

Esto parece bastante fácil:

\begin {align} J \text { no tiene cero común} & \Longleftrightarrow V(J) \text { está vacío } \\ & \Longleftrightarrow 1 \in I(V(J)) = \sqrt {J} \\ & \Longleftrightarrow \sqrt {J} = K[x_1, \dots x_n] \\ & \overset {(*)}{ \Longleftarrow } J=K[x_1, \dots x_n] \end {align}

La parte que falta es $(*)$ . Obviamente $J\subset \sqrt{J}$ para todos los ideales.

Pero, ¿por qué $\sqrt{J} = K[x_1,\dots,x_n]$ implica $J = K[x_1,\dots,x_n]$ ?

Answer 1

Si $1\in rad\ J =\{x\in \ |\ \exists n\in \mathbb N :\ x^n\in J\}$ . Así, $\exists n\in \mathbb N$ tal que $1=1^n\in J$ .