Dejemos que $a,b\in G$ sean elementos de un grupo finito $G$ . Sabemos que $\operatorname{ord}(a)=m$ y $\operatorname{ord}(b)=n$ . En dependencia de $m$ y $n$ cuáles son los posibles valores de $\operatorname{ord}(ab)$ ?
Así que estrictamente hablando estoy buscando una función $f:\mathbb N^2\to\mathcal{P}(\mathbb N)$ .
Tenga en cuenta que la restricción de $G$ ser finito no es un debilitamiento del problema. En el caso $n,m>1$ siempre podemos añadir $\infty$ al resultado de $f(m,n)$ .
Dejemos que $a$ y $b$ sean elementos de un grupo $G$ . Si $a$ tiene orden $m$ y $b$ tiene orden $n$ ¿Qué podemos decir sobre el orden de $ab$ ? El siguiente teorema, demostrado en las notas de clase de Milne sobre teoría de grupos, muestra que no podemos decir nada en absoluto.
TEOREMA 1.64 Para cualquier número entero $m,n, r > 1$ existe un grupo finito $G$ con elementos $a$ y $b$ tal que $a$ tiene orden $m$ , $b$ tiene orden $n$ y $ab$ tiene orden $r$ .
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