¿Es la torsión de la suma directa de objetos simples la suma directa de las torsiones?

Question

$\DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ Estoy leyendo la obra de Bakalov y Kirillov Conferencias sobre categorías tensoriales y funtores modulares y basándose en la notación de la sección $2.4$ y con respecto a la ecuación $(3.1.2)$ .

El entorno es una categoría de cinta abeliana semisimple $\mathcal{C}$ en $\mathbb{C}$ con unidad tensorial simple. El giro es $\theta$ y que $I$ sea el conjunto de clases de isomorfismo de objetos con $\{V_i\}_{i\in I}$ algunos representantes de esas clases.

Dadas las reglas de fusión $$ V_i\otimes V_j \cong \bigoplus_k N^k_{ij}V_k$$ Quiero entender por qué \begin {align*} \tag { $\star$ } \mathrm {tr}\a} \theta_ {V_i \otimes V_j} = \sum_k N^k_{ij} \theta_k d_k, \end {align*} donde los números $\theta_k,\ d_k$ se definen por \begin {align*} \theta_ {V_k} = \theta_k \mathrm {id}_{V_k}, \qquad d_k = \mathrm {tr}\a} \mathrm {id}_{V_k}. \end {align*} Aunque esto es fácilmente verificable en la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, no lo veo de forma general.

Supongamos para simplificar y wlog que $V_i\otimes V_j\cong V_k\oplus V_k$ para algunos $k$ . Seguramente entonces $$\tr\theta_{V_i\otimes V_j} = \tr \theta_{V_k \oplus V_k},$$ y también es fácil que $(\star)$ se desprendería ciertamente de $\theta_{V_k \oplus V_k} = \begin{pmatrix}\theta_{V_k} & 0 \\ 0 &\theta_{V_k} \end{pmatrix}$ .

Esto, a su vez, se desprende de $\theta_{V_k\oplus V_k} \circ i_j = i_j \circ \theta_{V_k}\ $ utilizando las propiedades del biproducto.

¿Cómo ver esto? ¿O estoy en un camino completamente equivocado aquí?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ Bueno, una vez más me olvidé de asegurarme de que era consciente de todas las cosas con las que estoy trabajando. Esta vez, olvidé que el giro es un isomorfismo natural $$ \theta: 1_{\mathcal C} \Rightarrow 1_{\mathcal C}.$$

Entonces $$ \theta_{V_k\oplus V_k} \circ i_j = i_j \circ \theta_{V_k}$$ es sólo la naturalidad de $\theta$ . Con esto concluimos \begin {align*} \pi ^i \circ \theta_ {V_k \oplus V_k} \circ i_j &= \pi ^i \circ i_j \circ \theta_ {V_k} = \delta ^{i}_j\\N- \theta_ {V_k}, \end {align*} por lo que en efecto $\theta_{V_k\oplus V_k} = \theta_k\cdot\id_{V_k\oplus V_k}$ . Entonces \begin {align*} \tr \theta_ {V_i \otimes V_j} &= \tr\theta_ {V_k \oplus V_k} \\ &= \theta_k\tr\id_ {V_k \oplus V_k} \\ &= 2 \theta_k d_k \\ &= \sum_k N^k_{ij}\N- \theta_k\ d_k\_es . \end {align*}