¿Cómo calcular matrices elevadas a grandes potencias?

Question

Calcula la matriz $$ Q = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & 4-\frac{\sqrt 3}{4}\\ 4+\frac{\sqrt 3}{4} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix}$$ elevado al poder $2005$ .

¿Existe alguna propiedad algebraica que se pueda utilizar siempre como fórmula? No tengo muy buena intuición para el álgebra, así que ayúdame si me estoy perdiendo esto por culpa de una mala base. Gracias :)

Answer 1

Estoy seguro de que esto ya se ha respondido antes, pero no soy capaz de encontrar el original. ( Editar : ¡Lo encontré! ) En general, supongamos que $\lambda_1,\lambda_2$ son los dos valores propios de a $2\times2$ matriz $Q$ (Nota: $Q$ no necesita ser diagonalizable). Entonces el teorema de Cayley-Hamilton dice que $(Q-\lambda_1I)(Q-\lambda_2I)=0$ . Ahora supongamos que queremos encontrar $Q^m$ para algún número entero $m\ge0$ . Por división larga, podemos escribir $$ x^m=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)p(x)+ax+b\tag{1} $$ para algún polinomio $p$ y algunos números $a$ y $b$ . De ello se desprende que $Q^m=aQ+bI$ y todo lo que necesitamos es determinar $a$ y $b$ . En caso de que $\lambda_1\ne\lambda_2$ sustituyendo $x=\lambda_1,\lambda_2$ en $(1)$ obtenemos $\lambda_1^m=a\lambda_1+b$ y $\lambda_2^m=a\lambda_2+b$ . Al resolverlos, obtenemos $a=\dfrac{\lambda_1^m-\lambda_2^m}{\lambda_1-\lambda_2},\ b=\dfrac{\lambda_1\lambda_2^m-\lambda_2\lambda_1^m}{\lambda_1-\lambda_2}$ .

Answer 2

Sugerencia . Primero se puede diagonalizar la matriz dada, $$ A=\begin{pmatrix}\frac34&4-\frac{\sqrt 3}{4}\\4+\frac{\sqrt 3}{4}&-\frac14\\ \end{pmatrix} $$ que es encontrar una matriz diagonal $D$ y una matriz invertible $J$ tal que $$ A=J\cdot D \cdot J^{-1} $$ entonces usando eso $$ A^n=J\cdot D^n \cdot J^{-1}. $$

Answer 3

Utilizando el Forma normal de Jordania hace que esto sea más fácil $$ \begin{align} M &=\begin{bmatrix}\frac34&4-\frac{\sqrt3}4\\4+\frac{\sqrt3}4&-\frac14\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2-\sqrt{257}}{16+\sqrt3}&\frac{2+\sqrt{257}}{16+\sqrt3}\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{1-\sqrt{257}}4&0\\0&\frac{1+\sqrt{257}}4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{2-\sqrt{257}}{16+\sqrt3}&\frac{2+\sqrt{257}}{16+\sqrt3}\\1&1\end{bmatrix}^{\large-1}\\[12pt] &=PDP^{-1} \end{align} $$ entonces $$ M^{2005}=PD^{2005}P^{-1} $$ y $D^{2005}$ es mucho más sencillo de calcular.

Answer 4

Encuentra los vectores propios de la matriz y utilízalos para construir una matriz de cambio de base, $S$ . A partir de esto se puede diagonalizar la matriz con $S^{-1}QS=D$ donde $D$ es una matriz diagonal. Entonces se plantea $D$ al poder de $2005$ y volver a cambiarlo utilizando $SDS^{-1}$ .

Answer 5

Se puede, por ejemplo, hacer logaritmo matricial + exponencial seguido del uso de leyes de potencia:

$$\log(X^k) = k \log(X) \Rightarrow \\X^k = \exp(k\log(X))$$

lo que significa que si el logaritmo de la matriz converge, primero se puede calcular y luego multiplicar con el escalar $k$ y luego exponer el resultado.

Una forma sencilla (pero no extremadamente eficiente) de calcular exp y log es mediante las habituales series de Taylor del cálculo en una variable.