Si $\left\{x_n\right\}$ es una secuencia convergente de puntos en $[a, b]$ y $\lim x_n = c$ entonces $c\in[a, b]$

Question

Si $\left\{x_n\right\}$ es una secuencia convergente de puntos en $[a, b]$ y $\lim x_n = c$ entonces $c\in[a, b]$ .

Esta es una afirmación que encontré en mi libro de texto de análisis real. ¿Cómo puedo demostrar lo anterior? ¿Debo utilizar el teorema

Si $\left\{x_n\right\}$ y $\left\{y_n\right\}$ son dos secuencias convergentes y existe un número natural $m$ tal que $x_n>y_n$ para todos $n\geq m$ entonces $\lim x_n\geq \lim y_n$ .

Por favor, que alguien me ayude. Gracias de antemano.

Answer 1

No deberías tener que utilizar ningún teorema, se deduce directamente de la definición de convergencia de una secuencia. Supongamos que $c$ no está en $[a,b]$ . Entonces, o bien $c<a$ o $c>b$ . Haré la prueba para $c<a$ . Dejemos que $\epsilon = \frac{a-c}{2}$ . Desde $x_n\to c$ , $\exists N$ tal que $\forall n>N$ , $x_n-c<\epsilon$ . Pero $x_n \geq a$ así que $x_n-c\geq a-c=2\epsilon>\epsilon$ , una contradicción. El otro caso es muy similar, ¿puede hacerlo?

Answer 2

Puedes utilizar el teorema que mencionas: definir $\;\{a_n\}=\{a,a,a,...\}\,,\,\,\{b_n\}=\{b,b,b,...\}\;$ , dos constante secuencias. Entonces, trivialmente

$$a_n\le x_n\le b_n\stackrel{\text{by the theorem}}\implies\;\;a=\lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}x_n=c\le\lim_{n\to\infty}b_n=b$$

Answer 3

Claro, y fíjate que tu resultado también es cierto en $x_n\geq y_n$ . Para su problema:

Usted sabe que, de hecho, para todos $n$ , $a\leq x_n\leq b,$ y entonces $a\leq \lim x_n\leq b.$

Answer 4

Supongamos que $ c> b $ con $\lim_{n\to\infty}x_n=c$ y llegar a una contradicción. Tenemos $$ (\forall \epsilon>0)(\exists N_\epsilon\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})\big[(n>N_\epsilon)\implies(c-\epsilon<x_n<c+\epsilon)\big] $$ Elija $ \epsilon = \frac{1}{2}(c-b)>0 $ . Luego está $N_{\frac{1}{2}(c-b)}$ tal que para todo $n>N_{\frac{1}{2}(c-b)}$ tenemos $$ c-\frac{c-b}{2}<x_n< c+\frac{c-b}{2} \iff b<\frac{c+b}{2}<x_n<\frac{3c+b}{2} $$ Pero esto contradice el hecho de que $$ a<x_n<b \quad \forall n\in\mathbb{N} $$ Y suponiendo que $c<a$ llegamos a una contradicción análoga.