Necesito un poco de pista en una prueba en la convergencia de una secuencia. El problema que tengo es: Supongamos $(x_n)$ es monótona decreciente de la secuencia de los números reales tales que a $\sum x_n$ converge, probar que:
$$\lim_{n \to \infty} nx_n=0$$
Mi idea es: prueba de este hecho apunta a demostrar que dado $\epsilon >0$ hay algunas natural $n_0 \in \mathbb{N}$ que si $n >n_0$ tenemos $|nx_n|<\epsilon$.
Ahora, yo sé que $\sum x_n$ converge, por lo que, dada $\epsilon'>0$ hay algunas $k_0 \in \mathbb{N}$ que si $k > k_0$ tenemos:
$$\left|\sum_{i=1}^{k}x_i - S\right|<\epsilon'$$
Donde $S = \sum x_n$. Ahora, desde la $(x_n)$ es monótona decreciente sabemos que debemos tener $x_1 > \cdots > x_k$, de modo que la suma de todas las $x_i$ debe ser menor o igual a $k x_k$. Así que sé que tengo:
$$\left|\sum_{i=1}^{k}x_i - S\right|\leq\left|\sum_{i=1}^{k}x_i\right|+|S|\leq|kx_k|+|S|$$
Siento que la prueba va a salir de esta, sin embargo estoy atascado en este punto. Alguien puede dar sólo una pequeña pista sobre cómo proceder a partir de aquí?
Muchas gracias de antemano por su ayuda.
