$f,g \in \mathscr{R}[-1,1] \implies f*g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ es continua en $[-1,1]$

Question

Dejemos que $f,g \in \mathscr{R}[-1,1]$ . Prueba $f*g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ es continua en $[-1,1]$ .

Donde la convolución se define como: $\displaystyle (f*g)(x) = > \int_{-1}^1 f(y)g(x-y)dy$ .

No he sido capaz de resolver esto, pero tengo algunas ideas que se describen a continuación.

Creo que podemos prescindir de $\epsilon-\delta$ prueba. Así que mi objetivo es mostrar para un determinado $x_0 \in[-1,1]$ , $|(f*g)(x)-(f*g)(x_0)| \lt \epsilon$ .

Ahora, hay un lema que quizás pueda utilizar:

Lema:

Dejemos que $f \in \mathscr{R}[a,b]$ . Para cada $\epsilon \gt 0$ , $\exists$ a función continua $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ , s.t. $\displaystyle\int_a^b |f-g| \lt \epsilon$ .

$$ \begin{split} \displaystyle |(f*g)(x_)-(f*g)(x_0)| & = \left| \int_{-1}^1 f(y)g(x-y)dy - \int_{-1}^1 f(y)g(x_0-y)dy \right| \\ & = \left| \int_{-1}^1 f(y)\bigl(g(x-y) - g(x_0-y)\bigl) dy \right| \\ & \leq M\left| \int_{-1}^1 \bigl(g(x-y) - g(x_0-y)\bigl) dy \right| \end{split} $$

Dónde $M \gt 0$ el límite de $f$ desde $f \in \mathscr{R}[-1,1]$ .

Ahora mis objetivos son mostrar $\displaystyle \left| \int_{-1}^1 \bigl(g(x-y) - g(x_0-y)\bigl) dy \right| \lt \frac{\epsilon}{M}$ .

Ahora $g$ no es necesariamente continua, por lo que la elección de un $\delta \gt 0$ s.t. $|x-x_0|\lt\delta$ no servirá de mucho aquí.

Utilizando el lema anterior, puedo obtener una función continua $g_c$ s.t. $\int_{-1}^1 |g-g_c| \lt \epsilon$ o cualquier cantidad positiva que deseemos. Pero usando la desigualdad del triángulo termino con términos positivos extra añadidos.

¿Pueden darme algunas pistas, por favor?

¿Debo continuar en esta dirección? Es decir, ¿puedo llegar a una $g_c$ una función continua, que me ayude a demostrar que la cantidad anterior es $\lt \epsilon/M$ ?

¿O debería adoptar un enfoque diferente? Es decir, utilizar secuencias (lo que he intentado, pero no he podido llegar muy lejos con ello).

Gracias

Answer 1

Ha ampliado las funciones más allá de $[-1,1]$ por la periodicidad para que la definición de $f*g$ tiene sentido.

Sólo se necesita el hecho de que $g_c$ es uniformemente continua. Existe $\delta >0$ tal que $|g_c(x-y)-g_c(x_0-y)| <\frac {\epsilon } {2M}$ siempre que $|x-x_0| <\delta$ .

Answer 2

Aquí está mi respuesta completa después de recopilar todos los consejos y ayudas que he recibido hasta ahora:

Dejemos que $\epsilon \gt 0$ se le dará. $f \in \mathscr[-1,1]$ entonces $\exists M \gt 0$ s.t. $|f| \leq M$ .

Por el lema mencionado en la pregunta, $\exists g_c \in C[-1,1]$ s.t. $\displaystyle \int_{-1}^1 |g-g_c| \lt \frac{\epsilon}{3M}$ .

Desde $g_c$ es continua en un intervalo compacto, es uniformemente continua. Así que $\exists \delta \gt 0$ , s.t. $|x-x_0| \lt \delta \implies |g_c(x) - g_c(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{6M}$ .

Dejemos que $x_0 \in [-1,1]$ ser s.t. $|x-x_0| \lt \delta$ entonces

$$ \displaystyle \begin{split} |(f*g)(x) - (f*g)(x_0)| & = \left|\int_{-1}^1 f(y)g(x-y)dy - \int_{-1}^1 f(y)g(x_0-y)dy \right| \\ & = \left| \int_{-1}^1 f(y) \bigl[ g(x-y)-g(x_0-y) \bigl] dy \right| \\ & \leq M \left| \int_{-1}^1 \bigl[ g(x-y)-g(x_0-y) \bigl] dy \right| \\ & \leq M \int_{-1}^1 \bigl| g(x-y)-g(x_0-y) \bigl| dy \\ & = M \int_{-1}^1 \bigl| g(x-y)-g_c(x-y)-g(x_0-y)+g_c(x_0-y)+g_c(x-y)-g_c(x_0-y) \bigl| dy \\ & \leq M \int_{-1}^1 \Bigl( \bigl|g(x-y)-g_c(x-y)\bigl|+\bigl|g(x_0-y)-g_c(x_0-y)\bigl|+\bigl|g_c(x-y)-g_c(x_0-y)\bigl| \Bigl) dy \\ & = M \left[ \int_{-1}^1 \bigl|g(x-y)-g_c(x-y)\bigl| dy + \int_{-1}^1 \bigl|g(x_0-y)-g_c(x_0-y)\bigl| dy + \int_{-1}^1 \bigl|g_c(x-y)-g_c(x_0-y)\bigl| dy \right] \\ & \lt M \left[ \frac{\epsilon}{3M} + \frac{\epsilon}{3M} + \int_{-1}^1 \frac{\epsilon}{6M} \right] \\ & = M \left[ \frac{\epsilon}{3M} + \frac{\epsilon}{3M} + \frac{\epsilon}{3M} \right] \\ & = \epsilon \end{split} $$