Demostrar que si $τ'$ es una topología en $X$ para el que la colección de $N_x$ es un sistema de vecindad abierto, entonces $τ=τ'$ .

Question

Definición 5: Sea $(X,T)$ sea un espacio topológico , suponga $\forall x\in X$ tenemos una colección $N_x$ de conjuntos abiertos con las siguientes propiedades

i) $N_x \neq \emptyset$

ii) si $x \in N$ para $N$ abrir entonces $N \in N_x$

iii) si $N_1,N_2 \in N_x$ y $x \in N_1 \bigcap N_2$ entonces existe un $N_3 \in N_x$ tal que $x \in N_3$ y $N_3 \subset N_1 \bigcap N_2$

iv) si $N \in N_x$ y $y \in N$ existe un $N' \in N_y$ tal que $N' \subset N$

v) $U \subset X$ es abierto si y sólo si $\forall x \in U$ existe un $N \in N_x$ tal que $N \subset U$

Proposición 7: Supongamos que $X$ es un conjunto cualquiera y para cada $x \in X$ tenemos una colección $N_x$ de subconjuntos de $X$ que satisface los puntos i) a iv) de la definición 5. Entonces, si definimos subconjuntos abiertos de $X$ mediante v) el conjunto $T$ de subconjuntos abiertos es una topología sobre $X$ para los que las colecciones $N_x$ son los sistemas de vecindad.

Pregunta

Supongamos que $X$ es un conjunto y que para cada $xX$ tenemos una colección $N_x$ de subconjuntos de $X$ que satisfacen los puntos i) a iv) de la definición 5.

Supongamos que el $N_x$ se utilizan para especificar la topología en $X$ de acuerdo con la proposición $7$ . Demostrar que si $'$ es una topología en $X$ para el que la colección de $N_x$ es un sistema de vecindad abierto, entonces $='$ .

esto es lo que obtuve Supongamos que el $N_x$ se utilizan para especificar una topología en $X$ de acuerdo con la proposición $7$ . Supongamos que $'$ es una topología en $X$ para el que la colección de $N_x$ es un sistema de barrio abierto

De la propiedad iv) obtuve $' \subset $ . Estoy luchando para demostrar lo contrario.

Answer 1

Así que te queda probar que $\tau$ es el más grueso topología para la que $\{ N_x \}_{x \in X}$ es un sistema de vecindad. Iré un poco más allá: $\tau$ es la topología más gruesa tal que cada conjunto en cada $N_x$ está abierto.

Una pista: Empezar con una topología arbitraria $\tau^\prime$ en el que cada conjunto de cada $N_x$ está abierto. Dado cualquier $\tau$ -sistema abierto $U$ sabemos por la definición de la topología $\tau$ (esto es esencialmente el punto (v)) que para cada $x \in U$ hay un $V_x \in N_x$ tal que $V_x \subseteq U$ . Ahora utiliza las propiedades de $\tau^\prime$ para demostrar que $U$ es $\tau^\prime$ -abierto.

Answer 2

Parece que hay algún error en la declaración. Concretamente ii) en la definición. Parece decir que cualquier subconjunto que contenga el punto $x$ debe estar en $N_x$ lo cual es contradictorio con el hecho de que $N_x$ sólo puede contener subconjuntos abiertos, a no ser que se trate de la topología discreta. Por otra parte, el mero hecho de añadir que este subconjunto debe ser abierto, de alguna manera hace que la proposición sea imposible, ya que habría una afirmación sobre subconjuntos abiertos mientras que este concepto aún no se ha introducido.

Me parece más lógico leer: si $N\in N_x$ entonces $x\in N$ . De modo que los conjuntos $N_x$ sólo contienen "barrios" de $x$ . De hecho, esto es necesario para que se cumpla la proposición, de lo contrario podría incluir algún subconjunto que no contenga $x$ en $N_x$ entonces las condiciones i) a iv) se seguirían cumpliendo, pero $N_x$ nunca podría ser el sistema de barrio para $x$ .

Me resulta difícil interpretar correctamente la pregunta, como también menciona Arthur en los comentarios. La forma en que yo la reformularía, la proposición responde a la pregunta de inmediato ya que $N_x$ es un sistema de vecindad y, por lo tanto, cualquier abierto en $\tau$ es en algunos $N_x$ . (aunque -véase el comentario- en la forma actual la proposición no se sostiene).