¿Es contable el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que son eventualmente constantes?

Question

Sé que el conjunto de todas las secuencias infinitas con longitud finita es contable, este conjunto parece ser sólo copias contables del conjunto de todas las secuencias infinitas con longitud finita. ¿Cómo se puede demostrar esto de forma rigurosa?

Answer 1

Dada esta secuencia $a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ definir, $$f(a) = (a_0,a_1,a_2,...,a_k,c)$$ (Vivo es hasta usted para averiguar lo que significa arriba).

Así, hemos construido una inyección $f:\text{const}\to F$ , donde $F$ son las secuencias finitas de los números naturales y $\text{const}$ son las secuencias eventualmente constantes.

Answer 2

Si ya estás en el punto en el que aceptas que las secuencias finitas son contables, entonces puedes decir simplemente que las secuencias eventualmente constantes se explican tomando cualquier secuencia finita y concatenándola con un valor infinitamente repetido.

Es decir, toda secuencia eventualmente constante es igual a alguna $s^\frown x$ donde $s\in\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ y $x=\langle n,n,n,\ldots\rangle$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ .

Así, tienes una inyección de las secuencias eventualmente constantes en $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}\times \mathbb{N}$ que es contable ya que $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ y $\mathbb{N}$ son contables.

Answer 3

Dejemos que $$A_n=\left\{(a)\in \Bbb N^{\Bbb N}\middle|\forall k\in\Bbb N: |a_k|\le n\land a_{n+k}=a_n\right\}$$ sea el conjunto de secuencias limitadas por $n$ y constante tras el índice del elemento $n$ (antes incluido). A continuación, todos $A_n$ son finitos y $A_n\subset A_{n+1}$ y el conjunto solicitado es el límite $\bigcup_{n\in \Bbb N}A_n$ de esta secuencia anidada.