Actualmente estoy leyendo Introduction to Smooth Manifolds de John M. lee. Estoy tratando de entender su definición de mapas suaves $F:A\subseteq M\to N$ que se da en la página 45. Empecemos desde cero para tener un poco de contexto.
Definición 1. Si $A\subseteq \mathbb{R}^n$ es un subconjunto arbitrario, una función $F:A\to \mathbb{R}^m$ se dice que es suave en $A$ si admite una extensión suave a una vecindad abierta de cada punto, o más precisamente, si para cada $x\in A$ existe un subconjunto abierto $U_x\subseteq \mathbb{R}^n$ que contiene $x$ y una función suave $\tilde F:U_x\to \mathbb{R^m}$ que está de acuerdo con $F$ en $U_x\cap A$ . La noción de difeomorfismo se extiende a subconjuntos arbitrarios de forma obvia: dados subconjuntos arbitrarios $A$ , $B\subseteq \mathbb{R}^n$ una forma de difeomorfismo $A$ a $B$ es un mapa biyectivo suave $f:A\to B$ con inversa suave.
Es fácil ver que esta definición de suavidad coincide con la habitual si $A$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ .
Definición 2. Dejemos que $M$ sea una variedad topológica con límite, es decir, un segundo espacio hausdorff contable tal que cada punto $p\in M$ tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{H}^n$ . Una estructura suave para $M$ se define como un atlas suave máximo, una colección de gráficos cuyos dominios cubren $M$ y cuyos mapas de transición (y sus inversos) son suaves como en Definición 1. Toda colmena lisa es automáticamente una colmena lisa con frontera (cuya frontera está vacía).
Todo está claro allí, pero aquí es donde las cosas se complican, en el libro Lee define la suavidad de las funciones con dominios arbitrarios como sigue:
Definición 3. Supongamos que $M$ y $N$ son variedades suaves con o sin límite y $A\subseteq M$ es un subconjunto arbitrario. Decimos que un mapa $F:A\to N$ es suave en $A$ si tiene una extensión suave en una vecindad de cada punto: es decir, si para cada $p\in A$ hay un subconjunto abierto $W\subseteq M$ que contiene $p$ y un mapa suave $\tilde F:W\to N$ cuya restricción a $W\cap A$ está de acuerdo con $F$ .
Sin embargo, esta definición es errónea. El propio Lee lo señaló en la fe de erratas de su página web y aquí (Lee's) Definición de mapas suaves en las variedades, en particular campos vectoriales . En la fe de erratas, propone cambiar la definición por la siguiente:
Definición 4. Si $N$ tiene el límite vacío, decimos que un mapa $F:A\to N$ es suave en $A$ si tiene una extensión suave en una vecindad de cada punto: es decir, si para cada $p\in A$ existe un subconjunto abierto $W\subseteq M$ que contiene $p$ y un mapa suave $\tilde F:W\to N$ cuya restricción a $W\cap A$ está de acuerdo con $F$ . Cuando $\partial N\neq \emptyset$ decimos que $F:A\to N$ es suave en $A$ si para cada $p\in A$ existe un subconjunto abierto $W\subseteq M$ que contiene $p$ y un gráfico suave $(V,\psi)$ para $N$ cuyo dominio contiene $F(p)$ , de tal manera que $F(W\cap A)\subseteq V$ y $\psi \circ F|W\cap A$ es suave como un mapa en $\mathbb{R}^n$ como en Definición 3.
La nueva definición soluciona el problema de la definición dada en el libro. Sin embargo, hay algo que no me gusta de la nueva definición: Primero define el concepto cuando $\partial N=\emptyset$ y luego lo define cuando $\partial N$ puede no estar vacío. Por supuesto, la definición dada en el libro y la nueva definición coinciden cuando $\partial N=\emptyset$ Sin embargo, esta forma de hacer las cosas añade una nueva capa de complicación. Si fuéramos muy estrictos, la nueva definición (donde no importa si $\partial N$ está vacío o no) sería así:
Definición 4(b) Dejemos que $M,N$ sean variedades suaves con límite y $A\subseteq M$ . Un mapa $F:A\to N$ es suave en $A$ si para cada $p\in A$ hay un barrio $W$ de $p$ , un gráfico suave $(V,\psi)$ para $N$ tal que $F(W\cap A)\subseteq V$ y $\psi\circ F|W\cap A$ es suave. $\psi \circ F|W\cap A$ suave significa que para cada $q\in W\cap A$ hay $U$ barrio de $q$ contenida en $W$ y una función suave $\tilde F:U\to \mathbb{R}^n$ que está de acuerdo con $\psi \circ F|W\cap A$ en $U$ .
Esa definición parece bastante complicada, pero es la que da a entender Lee en la fe de erratas. El problema es que se basa en una definición dada cuando $\partial N\neq \emptyset$ . La definición de una estructura lisa en una variedad con límite no tiene este problema porque trata ambos casos (variedades lisas y variedades lisas con límite) al mismo tiempo. La cuestión es que la Definición 1. de suavidad coincide con el anterior, por lo que podemos tratar ambos casos simultáneamente.
Así que mi pregunta es: ¿Hay alguna manera de simplificar la definición dada por Lee en la fe de erratas? Más concretamente, ¿hay alguna manera de tratar ambos casos (variedades lisas y variedades lisas con límite) simultáneamente?
Esto realmente no forma parte de la pregunta, pero lo publicaré aquí porque creo que merece la pena. ¿Por qué no simplificar Definición 1. diciendo $F:A\to \mathbb{R}^n$ es suave si existe un conjunto abierto $U$ que contiene $A$ y una función suave $\tilde F:U\to \mathbb{R}^n$ tal que $\tilde F$ está de acuerdo con $F$ en $A$ . Esta definición alternativa y Definición 1. son equivalentes mediante el uso de particiones de la unidad.
