Encuentre los extremos de $\sin(x)\cos(y)$ con el hessiano

Question

Tengo la siguiente función: $f(x,y) = \sin(x)\cos(y)$ .

He realizado la matriz hessiana correctamente, con las segundas derivadas:

\begin {bmatrix} - \sin (x) \cos (y) & - \cos (x) \sin (y) \\ - \cos (x) \sin (y) & - \sin (x) \cos (y) \end {bmatrix}

Pero el problema viene cuando quiero encontrar los extremos (puntos críticos y puntos de silla de montar). Al resolver $\cos(x)\cos(y) = 0$ y $-\sin(x)\sin(y) = 0$ (las primeras derivadas parciales) obtengo:

$\cos(x) = 0$ o $\cos(y) = 0$

$\sin(x) = 0$ o $\sin(y) = 0$ .

Si $\cos(x) = 0$ entonces $\sin(x) = \pm 1$ y si $\sin(x) = 0$ entonces $\cos(x) = \pm1$ . Bueno, aquí creo que tenemos sólo dos posibilidades:

1. $\cos(x) = \sin(y) = 0$ ;

2. $\sin(x) = \cos(y) = 0$ .

Ahora, ¿cómo encuentro los extremos?

Es decir, con $\cos(x) = \sin(y) = 0$ , que es el punto $(x, y)$ ¿y cómo lo sustituyo en la matriz hessiana? (La solución dice que debe un punto de silla de montar pero no lo entiendo, ¿por qué?)

Answer 1

Los puntos críticos son

• $f_x=\cos x \cos y=0$
• $f_y=-\sin x \sin y=0$

y por lo tanto

• $x=k\pi \quad y=\frac{\pi}2+j\pi$
• $y=k\pi \quad x=\frac{\pi}2+j\pi$

la matriz hessiana es

$$\begin{bmatrix} -\sin x \cos y & -\cos x \sin y \\ -\cos x \sin y & -\sin x \cos y \end{bmatrix}$$

y para $x=k\pi \quad y=\frac{\pi}2+j\pi$ obtenemos

$$H_1=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad H_2=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

y para $y=k\pi \quad x=\frac{\pi}2+j\pi$ obtenemos

$$H_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad H_4=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

y $H_1$ , $H_2$ tienen firma (1,1), $H_3$ tienen firma (2,0) y $H_4$ tienen firma (0,2).

Answer 2

Encuentre los extremos de $f(x,y) = \sin(x)\cos(y)$ .

$$\begin{cases} f_x=\cos x\cos y=0 \\ f_y=-\sin x\sin y=0\end{cases} \Rightarrow 1)\begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0\end{cases} \ \ \text{or} \ \ 2)\begin{cases}\cos y=0 \\ \sin x=0\end{cases}.$$ El Hessian lo es: $$H=\begin{bmatrix} -\sin x \cos y & -\cos x \sin y \\ -\cos x \sin y & -\sin x \cos y \end{bmatrix}\\ H_1=-\sin x\cos y; \ \ \ H_2=\sin^2 x\cos^2y-\cos^2x\sin^2y.$$ Para $1)$ : $$a) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=1 \\ \cos y=1\end{cases} \Rightarrow H_1=-1<0, H_2=1>0 \Rightarrow max; \\ b) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=-1 \\ \cos y=1\end{cases} \Rightarrow H_1=1>0, H_2=1>0 \Rightarrow min; \\ c) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=1 \\ \cos y=-1\end{cases} \Rightarrow H_1=1>0, H_2=1>0 \Rightarrow min; \\ d) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=-1 \\ \cos y=-1\end{cases} \Rightarrow H_1=-1<0, H_2=1>0 \Rightarrow max. \\$$ ¿Puedes manejar $2)$ ?

Answer 3

Calculas mal el hessiano; en realidad es $$ H(x,y)= \begin{bmatrix} -\sin(x)\cos(y) & -\cos(x)\sin(y)\\ -\cos(x)\sin(y) & -\sin(x)\cos(y) \end{bmatrix} $$ En los puntos donde $\cos x=0$ y $\sin y=0$ el determinante del hessiano es $1$ por lo que son máximos o mínimos (los valores propios son positivos o negativos).

En los puntos donde $\sin x=0$ y $\cos y=0$ el determinante del hessiano es $-1$ por lo que se trata de puntos de silla de montar (un valor propio es positivo, el otro es negativo).

Si te limitas a $x$ y $y$ en $[0,2\pi)$ que es más simple, los puntos son \begin {align} &( \pi /2,0), \quad ( \pi /2, \pi ), \quad (3 \pi /2,0), \quad (3 \pi /2, \pi ) \\ &(0, \pi /2), \quad ( \pi , \pi /2), \quad (0,3 \pi /2), \quad ( \pi ,3 \pi /2) \end {align} ¿Puedes asignar a cada uno de estos puntos la propiedad de ser máximo, mínimo o silla de montar?

Como la función es periódica de periodo $2\pi$ en cada variable, sumando múltiplos enteros de $2\pi$ a los puntos anteriores dará el conjunto.