$a^n$ invertible entonces $a$ invertible

Question

Sea A un anillo. Sea $a\in A$ . Si existe un $n\in \Bbb{N}$ tal que $a^n$ es invertible, entonces $a$ es invertible.

Si $a^n$ es invertible, entonces existe $b\in A$ tal que $a^n \cdot b = b \cdot a^n = 1_{A}$ . De esto puedo ver que $a$ tiene un inverso derecho y uno izquierdo, $b \cdot a^{n-1}$ y $ a^{n-1} \cdot b$ respectivamente. Si estos dos son iguales, entonces está probado. Si no me equivoco, no puedo simplemente multiplicar ambos por $a$ en ambos lados, porque todavía no sé que a es de hecho invertible.

Answer 1

Supongamos que $g\in A$ tiene un inverso a la izquierda $c\in A$ y un inverso derecho $d\in A$ . Entonces, $$ c=c 1_{A}=c(gd)=(cg)d=1_{A}d=d. $$

En particular, en su caso, tomar $g=a$ , $c=ba^{n-1}$ y $d=a^{n-1}b$ se puede concluir que $a^{n-1}b=ba^{n-1}$ y, por tanto, que $a$ es invertible.