¿Qué es? $\sqrt{i}$ ?

Question

Si $i=\sqrt{-1}$ es $\large\sqrt{i}$ ¿Imaginario?

¿Se utiliza o se tiene en cuenta a menudo en las matemáticas? ¿Cómo se anota?

Answer 1

Dejemos que $z=(a+bi)$ sea un número complejo que sea raíz cuadrada de $i$ Es decir $$i=z^2=(a^2-b^2)+2abi.$$ Igualando las partes reales e imaginarias tenemos, $$a^2-b^2=0, 2ab=1$$

Las dos soluciones reales de este par de ecuaciones son $a={1 \over \sqrt{2}},b={1 \over \sqrt{2}}$ y $a=-{1 \over \sqrt{2}},b=-{1 \over \sqrt{2}}$ . Las dos raíces cuadradas de $i$ por lo tanto son

$$\pm {1 \over \sqrt{2}} (1+i)$$

Answer 2

Visualmente, la raíz cuadrada de un número complejo (escrita en coordenadas polares) $(\rho,\theta)$ es el número $(\sqrt\rho,\theta/2)$ .

Answer 3

$i^\frac1{2}=\left(e^{\pi i/2}\right)^\frac1{2}=e^{\pi i/4}$

$e^{\pi i/4}=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

o simplificada,

$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$

Este es, por supuesto, el "valor principal"; el otro valor (¡gracias Matt E!) es la "raíz cuadrada negativa", $-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ o en forma exponencial, $-e^{\pi i/4}=e^{-3\pi i/4}$

Answer 4

Como puedes ver, hay varias formas de encontrar la respuesta a tu pregunta, desde el sencillo cálculo algebraico de jmoy, hasta el uso de la fórmula de Euler $e^{r+i\theta} = e^r(\cos(\theta)+i \sin(\theta))$ a las interpretaciones geométricas de los números complejos.

Un hecho que aún no se ha mencionado es que los números complejos son algebraicamente cerrado. Esto significa que toda ecuación algebraica que utiliza números complejos tiene todas sus soluciones en los números complejos. Así, la ecuación $x^2=i$ tiene sus dos soluciones en los números complejos; y las ecuaciones $x^4 = -7-12i$ y $x^4+(\pi -8i)x^3+x-\sqrt{5}=0$ tienen cada una de sus cuatro soluciones en los números complejos.

Los números reales no son algebraicamente cerrados: las ecuaciones $x^2=-1$ y $x^4+7x^2+\pi=0$ no puede resolverse a menos que utilicemos números complejos.

Esta es una de las principales razones por las que los números complejos son tan importantes; son los cierre algebraico de los números reales. Nunca necesitarás "niveles superiores" de números imaginarios o nuevas raíces cuadradas misteriosas; números de la forma $a+bi$ son todo lo que necesitas para encontrar cualquier raíz de polinomios reales o complejos.

Answer 5

De forma más general, si se quiere calcular todos los $n$ -raíces de un número complejo $z_0$ es decir, todos los números complejos $z$ tal que

$$ z^n = z_0 \ , \qquad \qquad \qquad \qquad [1] $$

debes escribir esta ecuación en forma exponencial: $z = re^{i\theta}, \ , z_0 = r_0 e^{i\theta_0}$ . Entonces [1] se convierte en

$$ \left( r e^{i \theta}\right)^n = r_0 e^{i\theta} \qquad \Longleftrightarrow \qquad r^n e^{in\theta} = r_0 e^{i\theta_0} \ . $$

Ahora, si tienes dos números complejos en coordenadas polares que son iguales, sus modulos deben ser iguales claramente:

$$ r^n = r_0 \qquad \Longrightarrow \qquad r = +\sqrt[n]{r_0} $$

desde $r, r_0 \geq 0$ .

En cuanto a los argumentos, no podemos concluir simplemente que $n\theta = \theta_0$ sino que sólo difieren en un múltiplo entero de $2\pi$ :

$$ n\theta = \theta_0 + 2k\pi \qquad \Longleftrightarrow \qquad \theta = \frac{\theta_0 + 2k \pi}{n} \quad \text{for} \quad k = 0, \pm 1 , \pm 2, \dots $$

Parece que tenemos un número infinito de $n$ -raíces, pero tenemos suficiente con $k = 0, 1, \dots , n-1$ ya que, por ejemplo, para $k=0$ y $k=n$ obtenemos los mismos números complejos. Así, finalmente

$$ \sqrt[n]{r_0 e^{i\theta_0}} = +\sqrt[n]{r_0} e^{i \frac{\theta_0 + 2k\pi}{n}} \ , \quad k = 0, 1, \dots , n-1 $$

son todos los complejos $n$ -raíces de $z_0$ .

Ejemplos

(1) Para $n=2$ obtenemos que todo número complejo tiene exactamente dos raíces cuadradas:

$$ \begin{align} \sqrt{z_0} &= +\sqrt{r_0}e^{i\frac{\theta_0 + 2k\pi}{2}} \ , k = 0,1 \\\ &= +\sqrt{r_0}e^{i\frac{\theta_0}{2}} \quad \text{and} \quad +\sqrt{r_0}e^{i\left(\frac{\theta_0}{2} + \pi \right)} \ . \end{align} $$

Por ejemplo, ya que $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$ obtenemos

$$ \sqrt{i} = \begin{cases} e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} +i \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\\ e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)} = \cos\frac{5\pi}{4} +i \sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \ . \end{cases} $$

Además, si $z_0 = -1 = e^{i\pi}$ ,

$$ \sqrt{-1} = e^{i \frac{\pi}{2}} = i \quad \text{and} \quad e^{i\left( \frac{\pi}{2} + \pi\right)} = e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i \ . $$

(2) Para $z_0 = 1 = e^{i \cdot 0}$ y cualquier $n$ obtenemos el $n$ -en raíces de la unidad :

$$ \sqrt[n]{1} = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \ , \quad k= 0, 1, \dots , n-1 \ . $$

Por ejemplo, si $n= 2$ obtenemos

$$ \sqrt{1}= e^{i \cdot 0} = 1 \quad \text{and} \quad e^{i\pi}= -1 $$

y para $n= 4$ ,

$$ \sqrt[4]{1} = e^{i\frac{2k\pi}{4}} \ , \quad k = 0, 1, 2, 3 \ , $$

es decir,

$$ \sqrt[4]{1} = 1, i, -1 , -i \ . $$