Normas de conmutadores

Question

Si una matriz compleja $n$ por $n$ $A$ tiene traza cero, entonces es un conmutador, lo que significa que hay matrices $n$ por $n$ $B$ y $C$ para que $A= BC-CB$. ¿Cuál es el orden de la mejor constante $\lambda=\lambda(n)$ para que siempre pueda elegir $B$ y $C$ para satisfacer la desigualdad $|B|\cdot |C| \le \lambda |A|$?

Añadido el 10 de junio: Gideon Schechtman me mostró que para el $A$ normal se puede tomar $B$ una matriz de permutación y $|C|\le |A|$ s.t. $A=BC-CB$.

Answer 1

Ozawa, Schechtman y yo finalmente escribimos lo que sabemos sobre esta cuestión. La estimación es que para cada $\epsilon > 0$ hay una constante $C\epsilon$ de modo que para cada $n$, $\lambda(n)\le C\epsilon n^{\epsilon}$. El artículo se puede descargar desde el arXiv.