Noether ' Teorema de s en la mecánica cuántica

Question

En la mecánica clásica:

Si un Lagrangiano L se conserva por un cambio infinitesimal en el espacio de estado de las variables p_i -> q_i + eK_i(q) sólo conduce a la segunda orden de cambio en el Lagrangiano: $$ 0 = \frac{dL}{d\epsilon} = \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i}K_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{K}_i \right) = \frac{d}{dt}\left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} K_i \right) $$

A continuación, llegamos a nuestro conservado impulso debido a la tasa de cambio en el lado derecho es 0.

En la mecánica cuántica, un observable Un conmutan con el Hamiltoniano [H] = 0, corresponde a una simetría de la época independiente de la ecuación de Schrödinger Hψ = Eψ. Cómo se calcula la conserva de la cantidad relativa a la Una? En particular, ¿cuál es el la cantidad conservada asociada con la identidad del operador?

Answer 1

En retrospectiva, el teorema de Noether es una espectacular pista de la mecánica cuántica. Mariano es completamente correcto en su comentario que la conserva la cantidad de se $A$ sí, pero merece un poco de explicación.

Un clásico probabilístico sistema se caracteriza por un algebra de variables aleatorias. Usted podría considerar la posibilidad de Boolean variables aleatorias, en el que caso de que el álgebra es una $\sigma$-álgebra $\Omega$. O usted podría considerar la posibilidad real o complejo de variables aleatorias; si usted toma el delimitada queridos, a continuación, el álgebra es $L^\infty(\Omega)$. En la probabilidad cuántica, que tienen el mismo tipo de cosa, excepto que el álgebra de limitada complejo de variables aleatorias es un no-conmutativa álgebra de von Neumann. Una elección con propiedades especiales es el álgebra $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ de todos obligado a los operadores en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$.

La propiedad especial de $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ es que todos los automorfismos son de interior, de modo que cualquier simetría $A$ de un quantum sistema dinámico es necesariamente también una variable aleatoria que se puede medir. Esto no ocurre clásicamente, ni siquiera para la otra no-conmutativa álgebras de von Neumann. Incluso sin la escritura de un tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger, se hace del teorema de Noether trivial, debido a la simetría $A$ debe ser conservada si lo interpretamos como un quantum variable aleatoria. A diferencia de en el caso clásico, $A$ no necesita ni siquiera para generar o provienen de una continua acción del grupo.

Por ejemplo, el operador de paridad (que niega a las tres coordenadas del espacio) es una conserva de la cantidad de electromagnetismo, por lo que conduce a una (dos valores) se conserva la cantidad en la electrodinámica cuántica, que también se llama paridad. El discreto simetría también existe clásicamente como la simetría de las ecuaciones de Maxwell (si usted tiene cuidado para anular el campo magnético de vectores en dos ocasiones), pero la clásica del teorema de Noether no se aplica.

De todos modos, la identidad del operador es la trivial variable aleatoria que siempre es 1, como Aarón dice.

Answer 2

Como ya se ha mencionado, la conserva de la cantidad es Un sí.

Voy a elaborar un poco para ver la completa analogía entre la clásica y la mecánica cuántica caso.

Vamos a suponer que el lagrangiano depende de las coordenadas $q_i\in R^n$ y sus primeras derivadas. El clásico de hamilton $H(p,q)$ que es una función en la fase de espacio de $T^{*}R^n$ puede ser obtenida a través de la transformación de Legendre.

Ahora bien, si una transformación que conserva el Lagrangiano, usted verá que no existe una función de $A(p,q)$ $T^{*}R^n$ cuyo canónica de Poisson soporte con el Hamiltoniano se desvanece: $\{A(p,q), H(p,q)\} = 0$. Al implementar esta transformación de las coordenadas, se obtiene la transformación de la ley se inicia con: $\{A(p,q),q_i\} = K_i(q)$,

Por lo tanto, lo que el teorema de Noether que realmente hace es permitir calcular una función de $A(p,q)$ que canónicamente genera la transformación que comenzó. Esta función se conserva bajo la clásica evolución desde su corchetes de Poisson con el hamiltoniano se desvanecen.