¿Cuál es el significado de la tercera derivada de una función en un punto?

Question

(Originalmente preguntado en MO por AJAY.)

¿Cuál es el significado geométrico, físico u otro del tercer derivado de una función en un punto?

Si tienes cosas interesantes que decir sobre el significado del primer y segundo derivado, por favor hazlo.

Answer 1

He encontrado tiempo, así que eliminé uno de mis comentarios originales en la publicación original y decidí expandirlo en una respuesta completa.

Una forma de interpretar geométricamente la tercera derivada es en la noción de la parábola osculante. De la misma manera que la primera derivada entra en la ecuación definitoria de la recta tangente (la línea que mejor aproxima tu curva en las cercanías de un punto dado), y que la segunda derivada está involucrada en la expresión para el círculo osculante (el círculo que mejor aproxima tu curva en las cercanías de un punto dado), la tercera derivada es necesaria para expresar la parábola osculante, que es la parábola que mejor aproxima... oh, captas rápido. ;)

Más específicamente, si recuerdas el hecho de que cuatro puntos determinan de manera única una parábola, puedes pensar en la parábola osculante como el caso límite de la parábola a través de cuatro puntos vecinos de una curva dada cuando esos cuatro puntos colapsan o se unen. La llamada aberrancia (una traducción del francés "déviation") es la tangente del ángulo que el eje de la parábola osculante forma con la línea normal, y se da por la fórmula

$$\tan\,\delta=\frac1{3\varrho}\frac{\mathrm d\varrho}{\mathrm d\phi}=\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}-\frac{1+\left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)^2}{3\left(\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d x^2}\right)^2}\frac{\mathrm d^3 y}{\mathrm d x^3}$$

donde $\varrho$ es el radio de curvatura y $\phi$ es el ángulo tangencial.

A partir de estas consideraciones, se podría derivar una expresión para la parábola osculante: dada una curva representada paramétricamente como $(f(t)\quad g(t))^T$, las ecuaciones paramétricas para la parábola osculante de la curva en $t=t_0$ son

$$\begin{pmatrix}f(t_0)\\g(t_0)\end{pmatrix}+\frac{\varrho\;\cos^4\delta}{2}\begin{pmatrix}\cos\,\phi&-\sin\,\phi\\\sin\,\phi&\cos\,\phi\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}(u^2-2)\tan\,\delta-2u-\tan^3\,\delta\\(u+\tan\,\delta)^2\end{pmatrix}$$

Aquí, por ejemplo, está la cardioide $(2\cos\,t+\cos\,2t\quad 2\sin\,t+\sin\,2t)^T$ y su parábola osculante en $t=2\pi/3:

y una animación de las diversas parábolas osculantes para la curva $(3\cos\,t-2\cos\,3t\quad 3\sin\,t-2\sin\,3t)^T$:

Además, se podría también dar una interpretación geométrica para la cuarta derivada; lo que se considera ahora es la cónica osculante (la cónica límite a través de cinco puntos vecinos de una curva cuando esos cinco puntos se unen), y uno podría clasificar los puntos de una curva plana como elípticos, parabólicos o hiperbólicos dependiendo de la naturaleza de la cónica osculante. En este sentido, el discriminante de la cónica osculante depende de las primeras cuatro derivadas.

Hay mucha más información en estos dos artículos de Steven Schot (quien también escribió un buen artículo sobre el "sacudimiento"), y las referencias en ellos.

Answer 2

Para la función de posición $p=f(t)$, probablemente ya sepas que la primera derivada $f'(t)$ da la velocidad instantánea, y que la segunda derivada $f''(t)$ da la aceleración instantánea.

La tasa de cambio de la aceleración se llama "sacudida" (también conocida como "empuje", "sacudida" o "trompazo"). Entonces, la tercera derivada $f'''(t)$ daría la sacudida instantánea.

Answer 3

La tasa de cambio de la aceleración se estudia en varias situaciones en física, mecánica y diseño de ingeniería.

De wikipedia:

En física, jerk, también conocida como jolt (especialmente en inglés británico), surge y lurch, es la tasa de cambio de la aceleración; es decir, la derivada de la aceleración con respecto al tiempo, la segunda derivada de la velocidad, o la tercera derivada de la posición. Jerk está definido por cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes:

$$ \vec j=\frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t}=\frac {\mathrm{d}^2 \vec v} {\mathrm{d}t^2}=\frac {\mathrm{d}^3 \vec s} {\mathrm{d}t^3}$$ donde

$\vec a$ es la aceleración, $\vec v$ es la velocidad, $\vec s$ es la posición y $\mathit{t}$ es el tiempo.

Jerk es un vector, y no hay un término generalmente utilizado para describir su magnitud escalar (por ejemplo, "velocidad" como la magnitud escalar para la velocidad).

Piensa en el diseño de montañas rusas.

De hecho, en mecánica, también se estudia la cuarta derivada. Se llama Jounce o Snap. De wikipedia:

En física, jounce o snap es la cuarta derivada del vector de posición con respecto al tiempo, siendo las derivadas primera, segunda y tercera la velocidad, aceleración y jerk, respectivamente; en otras palabras, el jounce es la tasa de cambio del jerk con respecto al tiempo.

$$\vec s =\frac {d \vec j} {dt}=\frac {d^2 \vec a} {dt^2}=\frac {d^3 \vec v} {dt^3}=\frac {d^4 \vec r} {dt^4}$$

A veces incluso las derivadas superiores no son triviales y entran en juego. Piense en un impacto repentino, un terremoto, un shock, o un efecto de relámpago en sistemas eléctricos. Construcciones como la función delta de Dirac son muy convenientes para tratar con tales situaciones. Por ejemplo, para un relámpago, hay aproximadamente un muy alto repunte de corriente durante un instante muy breve y para cualquier aproximación suave todas las derivadas superiores son diferentes de cero. Entonces tomas el límite y lo manipulas como si todo estuviera concentrado en un solo punto.

Answer 4

Es un tema común en matemáticas aplicadas que se puede interpretar fácilmente la primera y segunda derivada o momento (en caso de teoría de probabilidades), pero después de eso, comienzan los problemas.

Dicho esto, la tercera derivada se utiliza para calcular la torsión de una curva.

Revisemos un ejemplo (bastante pobre, lo admito). Trabajemos en $\mathbb{R}^3$ con un sistema de coordenadas cartesianas $x$, $y$, $z$ y la base asociada $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$. Entonces, sea $\gamma$ un círculo unitario dado por $x = \cos \varphi$, $y = \sin \varphi$, $z = z_0$, parametrizado de manera natural (por $\varphi$). Luego $\dot{\gamma} \times \ddot{\gamma} = \mathbf{e}_3$, y luego $\tau = {\dddot{\gamma}}^3 = 0$. Supongo que esta curva en particular no es muy instructiva, pero no puedo pensar en una mejor en este momento :)

Answer 5

Un complemento intuitivo a la respuesta de Arturo Magidin:

Una buena manera de comprender intuitivamente el jerk (es decir, la tercera derivada de la función de posición) es recordar la última vez que tomaste un avión y darte cuenta de que las siguientes "equivalencias" se cumplen

• Sin aceleración = velocidad constante = se siente como cuando estás sentado en tu silla en el trabajo = la primera derivada de la función de posición es cero.
• Aceleración = la velocidad aumenta = se siente como si alguien te empujara hacia el respaldo de tu asiento = la segunda derivada es positiva.
• Aceleración creciente = el ritmo al que tu velocidad aumenta se vuelve cada vez más alto = se siente como si el tipo que te empuja hacia el respaldo de tu asiento estuviera empujando cada vez más fuerte = jerk o tercera derivada es positiva.

En un avión:

1) Justo antes de despegar, el avión está quieto, sin aceleración, las derivadas de la función de posición son cero.

2) Ahora el avión comienza a moverse, ya no estás quieto, y la primera derivada de la función de posición es positiva.

3) No solo estás en movimiento, sino que el avión acelera brutalmente. Como resultado de la aceleración, sientes como si alguien te empujara hacia el respaldo de tu asiento: la segunda derivada de la función de posición es positiva.

4) Rápidamente después de que los motores se encienden, no solo sientes como si alguien te empujara hacia el respaldo de tu asiento, sino que, además, parece que esta persona imaginaria está empujando más y más fuerte. Esto es porque aceleras más y más (el jerk es positivo). Durante los primeros 2 segundos fuiste de 0 km/h a, digamos, 20 km/h, y durante los 2 siguientes, fuiste de, digamos, 20 km/h a 60 km/h: la tercera derivada de la función de posición es positiva.

5) Después de un tiempo, el avión sigue acelerando, pero a una tasa decreciente. Se siente como si el tipo imaginario que te empuja hacia el respaldo de tu asiento comienza a liberar la presión. Todavía está empujando (necesitarías un esfuerzo mayor para levantarte de tu asiento que si estuvieras sentado en tu silla de oficina), pero de manera menos intensa. La tasa a la que aceleras está disminuyendo, por lo tanto la tercera derivada es negativa. Sin embargo, sigues acelerando, por lo que la segunda derivada sigue siendo positiva.

6) Tu avión eventualmente alcanza su altitud de crucero y mantiene una velocidad constante de, digamos, 800 km/h. Así que ahora, no estás acelerando en absoluto, la segunda y tercera derivada de la función de posición son cero. Solo la primera derivada sigue siendo positiva.

7) Cuando aterrizas, el proceso se invierte. Se siente como si alguien te empujara en la espalda y necesitas el cinturón de seguridad para evitar que te caigas hacia adelante. Cuando sientes como si el tipo imaginario te empuja en la espalda más y más fuerte, entonces el jerk es negativo, por lo tanto la tercera derivada de la función de posición también es negativa.