Me gustaría evaluar esta integral sobre la superficie de una esfera en 3D: $$ \int_{\partial D} \int_{\partial D} \frac{1}{|x-y|}dxdy. $$ Parece que hay mucha simetría en esta integral, así que imagino que hay muchas posibilidades de que haya una solución explícita. Sin embargo, normalmente trato con problemas de Helmholtz en 2D, así que tengo muy poca, es decir, "ninguna", experiencia con la evaluación de integrales en 3D. ¿Alguien sabe cómo evaluar esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primero calculamos la integral interna $$\int_{\partial D}{1\over |x-y|}\>dx$$ cuando $y:=(0,0,1)$ es el polo norte. Aquí $dx$ denota el elemento de superficie en la esfera. Introducimos las coordenadas esféricas con $\theta=0$ en $(0,0,1)$ . Entonces $$\int_{\partial D}{1\over |x-y|}\>dx=\int_0^\pi{1\over2\sin{\theta\over2}}\>2\pi\sin\theta\>d\theta=2\pi\int_0^\pi\cos{\theta\over2}\>d\theta=4\pi\ .$$ Debido a la simetría rotacional, la integral interna es de hecho independiente de $y$ . Por lo tanto, obtenemos $$\int_{\partial D}\int_{\partial D}{1\over |x-y|}\>dx\>dy=4\pi\cdot 4\pi\ .$$
