Campo vectorial conservador y dominio simplemente conectado

Question

¿Puede existir un campo vectorial conservativo en un dominio que NO es simplemente conectado?

Answer 1

Sí; para un ejemplo no nulo, considere un campo de fuerza gravitacional en cualquier subconjunto no simplemente conectado del espacio 3.

Answer 2

Claro. Dejemos que $\Omega$ sea un dominio simplemente conexo y sea $p \in \Omega$ . Dejemos que $\vec F$ sea un campo vectorial conservativo en $\Omega$ Entonces

$\vec F = \nabla \phi \tag 1$

para algunos

$\phi \in C^1(\Omega, \Bbb R); \tag 2$

Consideremos ahora el dominio

$\Omega_p = \Omega \setminus \{p\}; \tag 3$

seguimos teniendo (1) en $\Omega_p$ , $\vec F$ sigue siendo conservador en $\Omega_p$ pero en general $\Omega_p$ no está simplemente conectado. Por ejemplo, podemos tomar

$\Omega = \Bbb D, \tag 4$

el disco de la unidad abierta en $\Bbb R^2$ y

$p = (0, 0), \tag 5$

el origen. Sea

$\phi = x^2 + y^2, \tag 6$

entonces

$\vec F = \nabla \phi = (2x, 2y) \tag 7$

es conservador en $\Omega$ y es conservador cuando se considera como un campo vectorial en

$\Omega_p = \Bbb D_{(0, 0)} = \Bbb D \setminus \{(0, 0) \}, \tag 8$

que no está simplemente conectado.

Ver la página de la wikipedia sobre campos vectoriales conservativos para saber más sobre esto.