Construcción de curvas elípticas en una familia

Question

Supongamos que $E/ \mathbb{Q}$ es una curva elíptica cuyo grupo de Mordell-Weil $E(\mathbb{Q})$ tiene rango r. ¿Cuando podemos nos damos cuenta E como una fibra de una superficie elíptica $S\to C$ fibrado sobre alguna curva, con todo lo definido en $\mathbb{Q}$, tal que el grupo de $\mathbb{Q}$-racionales secciones de $S$ tiene la fila por lo menos r?

Edito: Me deja también demanda que la familia resultante no es isotrivial, es decir, los invariantes j de las fibras no son todos iguales.

Answer 1

Si usted requiere de $C = P^1$ entonces probablemente no es posible, excepto para valores muy pequeños de $r$. Si usted no se preocupan por $C$, entonces aquí es algo que podría funcionar.

Supongamos $E$ está dado por $y^2=x^3+ax+b$ $P_i=(x_i,y_i),i=1,\ldots,r$ es una base para la Mordell-Weil grupo. Deje $C$ ser la curva dada por el sistema de de ecuaciones $u_i^2 = (t^i+x_i)^3 + a(t^i+x_i) + b + t, i=1,\ldots,r$ en $t,u_1,\ldots,u_r$ $S$ ser parte de la familia $y^2 = x^3 + ax + b+t$ retiró de nuevo a $C$. Así, por encima de $t=0$, $C$ tiene un punto de con $u_i=y_i$ y la fibra de $S$ por encima de este punto es $E$. También se $C$ se define de modo que hay secciones de $S$ $x$- coordinar $x=t^i+x_i$ y apuesto a que son independientes. Finalmente la familia no es isotrivial si $a \ne 0$. Si $a=0$ ajuste de la construcción es una manera obvia.

Answer 2

La evidencia de que no se sabe para siempre ser posible a través de la $\mathbb{QP}^1$: Si nos fijamos en los registros de las curvas elípticas con alto rango, que se dividen en tres categorías

1. Curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$.
2. Nonisotrivial curvas de más de $E$ donde $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ $|E(\mathbb{Q})|$ infinito.
3. Nonisotrivial curvas de más de $\mathbb{QP}^1$.

Si siempre pudiéramos deforme, estos registros sería el mismo. De hecho, de acuerdo a las tablas aquí y aquí, la más alta conocida clasificación de tipo 1 es de 28, de tipo 2 es de 19 y de tipo 3 es de 18 años.

No sé si hay ejemplos donde es sabido que dicha deformación es imposible.