¿Cómo se prueban las preguntas de la forma Demostrar que $A\to \text{ B or C or D}$ ?

Question

¿Cómo se demuestran las preguntas de la forma: Demostrar que $A\to \text{ B or C or D}$ ?

Por ejemplo, supongamos que la pregunta es:

$$\text{(x = 10) $\to$($ x+1 = 11 $) or ($ x+2 = 4 $) or ($ x-1 = 8 $)}$$

No sé cómo probar "o"

En "o", sólo una de las cosas después de la flecha tiene que ser Verdadera.

Lo que pienso:

Supongamos que x = 10

Mostrar $x+1 = 11$

Mostrar $x+2 \neq 4$

Mostrar $x-1 \neq 8$

$\therefore$ ya que uno de los $or$ en verdad, la implicación está probada.

¿Es así como se hace?

Answer 1

Si quieres demostrar una condición $A \rightarrow (B \lor C \lor D)$ En ese caso, suele haber dos estrategias:

C1. Prueba condicional: Supongamos que $A$ y tratar de mostrar $B \lor C \lor D$

C2. Prueba contrapositiva: Supongamos que $\neg(B \lor C \lor D)$ y tratar de mostrar $\neg A$

Después de la 1, tendrías que mostrar una disyunción $B \lor C \lor D$ . Para demostrar las disyunciones, existen normalmente 3 estrategias:

D1. Si tienes suerte, podrás demostrar uno de los disyuntos por sí mismo. De hecho, en tu problema particular son suerte, ya que la suposición $x=10$ te lleva rápidamente a $x+1=11$ . Pero como he dicho, hay que tener suerte para conseguirlo. Normalmente, no tienes tanta suerte y tienes que usar una de las otras 2 estrategias

D2. Si tienes una disyunción como premisa (digamos que tienes $E \lor F \lor G$ ), entonces puedes intentar establecer una prueba por casos sobre esa disyunción que tienes, y la mayoría de las veces, esos casos te llevarán a los casos de la disyunción que quieres (por ejemplo, el caso $E$ puede llevar a $C$ , caso $F$ puede llevar a $D$ y el caso $G$ lleva a $B$ ). Si no tienes ninguna disyunción con la que trabajar, siempre puedes conseguir una a través de la Ley del Medio Excluido. Es decir, siempre puedes suponer, digamos, $B \lor \neg B$ y ahora el caso $B$ obviamente te da inmediatamente lo que quieres, pero con el caso $\neg B$ puede ser capaz de mostrar $C \lor D$

D3. Una tercera estrategia para demostrar una disyunción es hacer una prueba por contradicción. Así, supongamos que $\neg(B \lor C \lor D)$ y demostrar que eso lleva a una contradicción. Ten en cuenta que, dado que en tu problema particular la disyunción era el consecuente que querías, básicamente acabas haciendo una prueba por contraposición. Pero para otros problemas: si alguna vez quieres demostrar una disyunción (ya sea el consecuente de un condicional o sólo por sí mismo), una prueba por contradicción es a menudo una estrategia bastante buena (especialmente si no puedes usar la estrategia D1), ya que por DeMorgan obtienes inmediatamente algo con lo que trabajar para intentar derivar tu contradicción.