Me preguntaba qué decía sobre el producto $$ u\eta $$ donde $u\in W^{1,2}(\Omega)$ y $\eta\in W^{1,2}_0(\Omega)$ . En particular, cuando puedo decir que $$ u\eta\in W^{1,2}_0(\Omega). $$ ¿Es necesario hacer más suposiciones sobre ti?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para $u \, \eta \in W_0^{1,2}(\Omega)$ tienes que demostrar tres cosas:
- $u \, \eta \in L^2(\Omega)$ ,
- $\nabla( u \, \eta ) \in L^2(\Omega)$ y
- el rastro de $u \, \eta$ es cero.
La primera es fácil de conseguir y la última se deduce básicamente del hecho de que la traza de $\eta$ es cero. La segunda es más difícil y necesita supuestos adicionales. A partir de la regla del producto, basta con comprobar que $u \, \nabla \eta$ y $\eta \, \nabla u$ están en $L^2$ . Esto se puede conseguir combinando el teorema de incrustación de Sobolev con la desigualdad de Hölder. Por ejemplo, basta con suponer una de las siguientes (esta lista no es exhaustiva):
- $u \in W^{1,\infty}(\Omega)$ ,
- $\eta \in W^{1,\infty}(\Omega)$ ,
- $u, \eta \in L^\infty(\Omega)$ ,
- $u, \eta \in W^{1,p}(\Omega)$ con $p$ suficientemente grande (según la dimensión).
