Prueba de la equivalencia de las estructuras conformes y complejas en una superficie de Riemann.

Question

Estoy tratando de entender los fundamentos de la teoría de superficies de Riemann y hasta ahora tengo lo siguiente:

-- Definición 1. A estructura conformada en una superficie de Riemann $\Sigma$ es una clase de equivalencia de las métricas $$ [g]=\{e^{2u}g \colon u\in \mathcal{C}^\infty(\Sigma)\} $$

-- Definición 2. A estructura compleja en una superficie de Riemann $\Sigma$ es una clase de equivalencia de atlas complejos, donde dos atlas se consideran equivalentes si su unión forma un nuevo atlas complejo.

Nota 1. Cada estructura compleja tiene un representante canónico dado por el atlas maximal

--- Teorema de uniformización de Riemann. En cualquier estructura conforme, existe una única métrica con curvatura constante de $1,0$ o $-1$ .

Nota 2 Esto permite elegir un representante canónico para cada estructura conforme.

Mis preguntas son las siguientes:

(I) ¿Qué teorema nos dice que existe una biyección entre estas dos definiciones de estructuras conformes y complejas?

(II) ¿Qué se entiende por "espacio de moduli de Riemann"?

Muchas gracias, A.

EDIT: Al establecer la afirmación (I), parece ser necesario tomar como suposición que una superficie es orientable.

Answer 1

Equivalencia de la estructura conforme y la estructura compleja:

1).De la estructura compleja a la estructura conforme es fácil. Dada una estructura compleja, tenemos $ T_p M \simeq \mathbb{C}$ . Con el número complejo $i $ en el espacio tangente, existe una ortogonalidad natural $<1,i>=0$ La propiedad de ortogonalidad es independiente de la carta elegida porque el mapa de transición es holomorfo (ecuación de Rienmann Cauchy). Por lo tanto, la estructura del producto interior está bien definida en los espacios tangentes de cada punto de M, lo que da lugar a una métrica de Riemann sobre $M$ por lo tanto, una estructura conforme.

2). Por otro lado, si se da una estructura conforme en $M$ Supongamos que una métrica en esta equivalencia conformacional es $ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2$ . Se puede comprobar que esto se puede escribir en notación compleja como $ds=\lambda(z)|dz+\mu(z)d \overline{z}|$ para alguna función positva $\lambda(z)$ y la función de valor complejo $\mu(z)$ con $|\mu(z)|<1$ . Para decir el mapa de coordenadas $\phi_k: U_k \rightarrow \mathbb{C}$ es conforme, es lo mismo que decir que este difeomorfismo preserva los ángulos: $$ \frac{\phi_k^{\ast} d\eta^2 (u,v)}{(\phi_k^{\ast}d\eta^2(u,u))^{\frac{1}{2}}{(\phi_k^{\ast} d\eta^2(v,v))^{\frac{1}{2}}}}=\frac{ds^2 (u,v)}{(ds^2(u,u))^{\frac{1}{2}}{ (ds^2(v,v))^{\frac{1}{2}}}} $$ donde $|d\eta|$ es la métrica euclidiana sobre $\mathbb{C}$ .

Equivalentemente, esto es decir $|dz+\mu(z)d\overline{z}|$ es proporcional a $|d\eta|=|d\phi_k(z)|=|{\phi_{k}}_{z}dz+{\phi_k}_{\overline{z}}d\overline{z}|.$ Por lo tanto, una solución de la ecuación de Beltrami ${\phi_{k}}_{\overline{z}}=\mu(z){\phi_{k}}_{z}$ que se puede obtener la existencia de tal mapa conforme. Haga clic en aquí

Hasta ahora sólo hemos hablado de la propiedad de preservación de ángulos de un mapa conforme desde la perspectiva de una métrica que no es la propiedad holomórfica (analítica) de un mapa conforme. Pero nos dirigimos hacia allí. Debido a esta propiedad de preservación del ángulo, se sabe que el mapa de coordenadas preserva la estructura compleja. Recuerda que no es más que una rotación por $\frac{\pi}{2}$ en el avión.
Haga clic en aquí $$J{\phi_{k}}_{\ast}v={\phi_{k}}_{\ast}J v $$ Sin embargo, $${\phi_{k}}_{\ast}(J \frac{\partial}{\partial{x}})={\phi_{k}}_{\ast}(\frac{\partial}{\partial y})={u}_y +i {v}_y$$ Dónde $\phi_k(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$

De la misma manera, $$J ({\phi_{k}}_{\ast} \frac{\partial}{\partial x})= J(u_x+iv_x)=i u_x- v_x$$

Así que $${u}_y +i {v}_y=i u_x- v_x$$

Así llegamos por fin a Cauchy Riemann, lo que significa que el atlas es compex analítico.

Answer 2

Como ha señalado correctamente Dmitry Zaitsev, la prueba de la parte (1) de la respuesta aceptada está incompleta: Los isomorfismos (complejos) $T_pM\to {\mathbb C}$ están bien definidos sólo puntualmente: A menos que el haz tangente $TM$ es trivial, ni siquiera se pueden hacer elecciones de estos isomorfismos continuos con respecto a $p$ . Qué estructura (casi) compleja en el haz tangente $TM$ te da es la orientación en $M$ y la noción de ángulo entre vectores tangentes. No da una noción bien definida de longitud para los vectores tangentes. La forma estándar de tratar este problema es la siguiente:

Dejemos que $\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ sea un sistema localmente finito de coordenadas holomórficas en la superficie de Riemann dada $X$ , es decir, la cubierta ${\mathcal U}= \{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ de $X$ es localmente finito (cada punto está cubierto por un número finito de gráficos). El porqué de la existencia de tal cobertura es una cuestión complicada: Me limitaré a suponer que $X$ es paracompacto. (Es un teorema debido a Rado que toda superficie de Riemann es paracompacta. Véase la discusión aquí .) La paracompacidad significa que toda cubierta abierta admite una subcubierta localmente finita.

Ahora, teniendo en cuenta esto, procedemos de la siguiente manera. Sea $\{\eta_\alpha: \alpha\in A\}$ sea una partición de la unidad subordinada a la cubierta abierta ${\mathcal U}$ .

Para cada $\alpha\in A$ equipar $U_\alpha$ con la métrica del retroceso $g_\alpha= \phi_\alpha^*(|dz|^2)$ que se obtiene por el pull-back de la métrica euclidiana a partir de ${\mathbb C}$ a través de $\phi_\alpha$ . Establecer $h_\alpha= \eta_\alpha g_\alpha$ y ampliar $h_\alpha$ por cero al resto de $X$ . El resultado es una métrica semi-riemanniana $h_\alpha$ en $X$ (sólo es semidefinida positiva y no definida en los espacios tangentes).

Por último, establece $$ h=\sum_{\alpha\in A} h_\alpha. $$ Desde ${\mathcal U}$ es localmente finita, esta suma es una métrica suave y semirriemanniana; es una métrica riemanniana ya que $\{\eta_\alpha: \alpha\in A\}$ es una partición de la unidad. La conformidad de esta métrica en $X$ se desprende de la siguiente observación:

Observación. Dejemos que $g=\rho(z)|dz|^2$ sea una métrica riemanniana conforme sobre un subconjunto abierto $U\subset {\mathbb C}$ . Dejemos que $f: V\to U$ un mapa biholomorfo de un subconjunto abierto $V\subset {\mathbb C}$ . Entonces la métrica de retroceso $f^*(g)$ es igual a $$ \rho(f(w))|f'(w)|^2 |dw|^2 $$ y, por tanto, es de nuevo conforme. Así, la conformalidad de una métrica riemanniana sobre una superficie de Riemann es independiente de la carta holomórfica local. En particular, una suma finita de métricas conformes es de nuevo conforme.

Por último, he aquí un hecho divertido y poco conocido (debido a Robert Gunning y Raghavan Narasimhan). Supongamos que $X$ es una superficie de Riemann no compacta y conectada. Entonces $X$ admite una métrica riemanniana conforme de curvatura cero. (Tal métrica es típicamente incompleta).

Answer 3

(1) La especificación de una estructura compleja especifica completamente la estructura conforme, y viceversa. Esto se puede ver en el siguiente teorema:

Teorema: Dejemos que $R$ y $S$ sean superficies de Riemann inducidas por las orientadas $2$ -de las variedades riemannianas $(M,ds^2)$ y $(N,ds_1^2)$ respectivamente. Entonces el mapa $f\colon (M,ds^2)\rightarrow (N,ds_1^2)$ es conforme si y sólo si $f\colon R\rightarrow S$ es biholomorfo.

(2) El espacio de moduli de Riemann $R_g$ es el espacio de las clases de equivalencia analítica de las superficies de Riemann de género fijo $g$ (véase también aquí ).