Deje $Q=\mathbb Q \cap(0,1)= \{r_1,r_2,\ldots\}$ ser los números racionales en $(0,1)$ enumerados, así que puede contar con ellos. Definir $x_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nr_n$ a la media de la primera $n$ números racionales a partir de la lista.
Preguntas:
1) ¿Qué es necesario para $x_n$ a converger? Ciertamente, $0< x_n < 1$ todos los $n.$
2) No $x_n$ convergen a un racional o irracional?
3) ¿Cómo es el comportamiento de la secuencia depende de la elección de la lista? I. e. lo que si nos reorganizar la lista de $\mathbb Q \cap(0,1)=\{r_{p(1)},r_{p(2)},\ldots\}$ con uno-a-uno permutación $p:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$? ¿Cómo funciona el comportamiento de $x_n$ dependen de la $p$?
Mis pensamientos: Intuitivamente, creo que podríamos ser capaces de elegir un $p$, de modo que $x_n\rightarrow y$ cualquier $y\in[0,1]$. Sin embargo, también hace sentido intuitivo de que, si cada uno de los racionales, que sólo aparece una vez en la lista, que el límite es necesario para ser $\frac{1}{2}.$ Del curso, la intuición puede ser muy engañoso con infinitos!
Si se nos permite repetir los números racionales con frecuencia arbitraria (pero todavía capturar cada uno de los racionales con el tiempo), entonces podríamos ser capaces de elegir de un listado para que $x_n\rightarrow y$ cualquier $y\in(0,\infty)$.
Este último punto puede ser demostrado por el hecho de que cada número real positivo tiene una secuencia de racionales positivos convergente, y cada racional en la que la lista puede ser expresada como una suma de positivos racionales menos de uno. Sin embargo, el promedio se puede complicar esa idea, y voy a tener que pensar más sobre ello.
Ejemplos I:
No repetición:
$$Q=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=1}^n \left\{\frac{k}{n+1}\right\} =\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\ldots\right\}$$
en el que caso de $x_n\rightarrow\frac{1}{2},$ muy agradable y simple ejemplo. Incluso si mantenemos la no-reducción de fracciones y permitir la repetición, es decir, con
$Q=\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\boxed{\frac{2}{4},}\frac{3}{4},\frac{1}{5},\ldots\},$
a continuación, $x_n\rightarrow\frac{1}{2}.$ El último caso es fácil de probar, ya que tenemos la subsequence $x_{n_k}=\frac{1}{2}$ $n_k=\frac{k(k+1)}{2},$ y las desviaciones de $1/2$ de disminución. La no repetición caso, yo no he probado, pero simulados numéricamente, por lo que puede ser un error, pero me imagino que no es fácil de cálculo para mostrar si es correcta.
Ejemplo II:
Considere la lista generada a partir de Stern-Brocot árbol:
$$Q=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{3}{4},\ldots\right\}.$$
Estoy seguro de que esta lista podría ser estudiado analíticamente, pero por ahora, me acabo de hacer una simulación numérica. La secuencia de los promedios de las $x_n$ aciertos $\frac{1}{2}$ infinitamente a menudo, pero puede ser oscilatorio y por lo tanto no convergen. Si converge, lo hace mucho más lento que el de los ejemplos anteriores. Parece que $x_{2^k-1}=0.5$ todos los $k$, y que entre esos valores se llega muy cerca de a $0.44,$ por ejemplo $x_{95743}\approx 0.4399.$ sin Embargo, mi código de computadora, probablemente no es muy eficiente, y se vuelve muy lento allá de este.
