Baricentro de $4$ los puntos de intersección de la parábola con el círculo se encuentran en el eje de la parábola

Question

Demuestre que el baricentro del $4$ Los puntos de intersección de una parábola con una circunferencia están en el eje de la parábola.

Dejemos que $p$ sea una parábola, $c$ un círculo y $p\cap c=\{P_1,P_2,P_3,P_4\} \Rightarrow B= \frac{P_1+P_2+P_3+P_4}{4} \in$ eje de $p$ .

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos tomar la parábola como si tuviera la ecuación $y=kx^2$ .

Escribe la ecuación $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ del círculo. Sustituir $kx^2$ para $y$ .

Obtendrás un título $4$ polinomio en $x$ sin $x^3$ término .

Pero la suma de las raíces del polinomio es el negativo del coeficiente de $x^3$ dividido por el coeficiente de $x^4$ .

Así que la suma de las cuatro raíces (no necesariamente reales) es $0$ . El $x$ -coordenada del baricentro de los puntos de intersección es, si hay cuatro raíces reales, no necesariamente distintas, la media de estas $4$ raíces.

Answer 2

Si expandimos una función polinómica de cuarto grado $x\mapsto(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)$ obtenemos $$ x^4 - (p+q+r+s)x^3 + \cdots. $$ La suma de las raíces es menos el coeficiente de $x^3$ .

El $x$ -coordenadas de la intersección de la parábola $y=x^2$ con el círculo $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$ son las raíces de $$ (x-h)^2 + (x^2-k)^2 = r^2. $$ Esto es un polinomio de cuarto grado en $x$ . El coeficiente de $x^3$ es $0$ . Por lo tanto, la suma de las raíces es $0$ .