Trabajamos en el marco de una sapiencia medible $X$ con una medida completa y finita $\mu$ . Decimos que una secuencia de funciones $\left( f_{n}\right)$ definidas en un espacio medible, convergen en medida a una función medible $f$ si \begin {equation*} \forall \varepsilon >0: \lim_ {n \rightarrow + \infty } \mu \left ( \left\ { x \in X \mid \left\vert f_{n} \left ( x \right ) -f \left ( x \right ) \right\vert \geq \varepsilon \right\ } \right ) =0, \end {equation*} donde $\mu$ es una medida sobre $X$ . Denotamos esta convergencia con $f_{n}% \overset{\mu }{\rightarrow }f$ . Demostrar que \begin {equation*} f_{n} \overset { \mu }{ \rightarrow }f \quad \Leftrightarrow \quad f_{n} \overset {d}{ \rightarrow }f, \end {equation*} donde $d$ es una pseudo métrica en un espacio medible $X$ definido por \begin {equation*} d \left ( f,g \right ) := \min \left\ { 1, \inf_ { \alpha >0} \mu \left ( \left\ { x \in X \mid \left\vert f \left ( x \right ) -g \left ( x \right ) \right\vert \geq \alpha \right\ } \right ) \right\ } . \end {equation*}
Mi intento fue escribir y reescribir la definición de las convergencias y luego, utilizando la caracterización con $\varepsilon $ para la convergencia de una secuencia, para obtener al menos una implicación. Pero me quedo atascado. Parece que no hay relación entre estos dos tipos de convergencia. Gracias por cualquier ayuda.
