Definición de integral estocástica, función integrable cuadrada

Question

Hola tengo una pregunta sobre la integral estocástica.

Dejemos que $X=(X_{t})_{t \geq0}$ sea un movimiento browniano iniciado en $0$ . Conozco el siguiente hecho:

Dejemos que $(\varphi(t))_{t\geq0}$ sea un proceso progresivamente medible tal que \begin {align*} P \left [ \int_ {0}^{t} \varphi (s)^{2}\Nde los que se puede hablar, ds< \infty \right ]=1, \quad {}^{ \forall }t \geq0. \end {align*} Entonces podemos definir la siguiente integral estocástica \begin {align*} \int_ {0}^{t} \varphi (s)\N-, dX_{s}. \end {align*}

Pregunta

Dejemos que $b$ sea una función cuadrada integrable en $\mathbb{R}$ . Entonces podemos definir la integral estocástica $\int_{0}^{t}b(X_{s})\,dX_{s}$ ?

Si queremos definir esta integral, tenemos que comprobar \begin {align*} P \left [ \int_ {0}^{t}b(X_{s})^{2}\,ds< \infty \right ]=1 \quad \mbox {o} \quad E \left [ \int_ {0}^{t}b(X_{s})^{2}\,ds \right ]< \infty \end {align*} para todo $t \geq 0$ . Pero no sé cómo calcular las cantidades anteriores. Si usted sabe cómo calcular, por favor hágamelo saber.

Gracias por su consideración.

Answer 1

Como usted escribe correctamente, la integral $\int_0^t b(X_s) dX_s$ está bien definida (como una integral de Itô ampliada) siempre que $\int_0^t b(X_s)^2 ds<\infty$ casi seguro.

Así que la pregunta es: ¿Cuándo es la integral $\int_0^t f(X_s) ds$ finito casi seguro

La respuesta a esta última pregunta es bien conocida: este es el caso si $^*$ $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ .

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es afirmativa. Además, basta con suponer que $b\in L^2_{loc}(\mathbb{R})$ .

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Este es un esbozo del argumento para $b\in L^2(\mathbb{R})$ (mi respuesta aquí da un argumento alternativo); el caso localmente integrable se hace por localización.

Denote $f = b^2$ . Por la fórmula de la densidad de ocupación, $$ \int_0^t f(X_s)ds = \int_{\mathbb{R}} l_t(x)f(x) dx,\tag{1} $$ donde $l_t(x)$ es el tiempo local (densidad de ocupación) de $X$ en el punto $x$ en el intervalo $[0,t]$ . Desde $l_t(x)\le C(\omega)$ (es continua en $x$ y se desvanece en $\pm \infty$ ), $$ \left\lvert\int_0^t f(X_s)ds\right\rvert\le C(\omega)\int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx<\infty, $$ según sea necesario.

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$^*$ Esto también es cierto para generalizado funciones $f$ . Es decir, si una medida $\nu$ tiene una variación localmente finita, entonces $\int_0^t \frac{d\nu}{dx}(X_s)ds$ está bien definida; puede definirse mediante la fórmula de la densidad de ocupación (1): $$ \int_0^t \frac{d\nu}{dx}(X_s)ds = \int_{\mathbb{R}} l_t(x) \nu(dx). $$