Identidades para sumas de números eulerianos

Question

Dejemos que $[n] := \{1,2,\dots,n\}$ . Un Número euleriano , $A(n,k)$ denota el número de permutaciones $\sigma \in S_n$ de $[n]$ tal que exactamente $k$ los números tienen la propiedad de que $\sigma(i) < \sigma(i+1)$ .

Se sabe que $\sum_{k=0}^{n-1}A(n,k) = n!$

Pregunta: ¿Existen resultados sobre la esperado número de permutaciones $\sigma \in S_n$ tal que exactamente $k$ los números tienen la propiedad de que $\sigma(i) < \sigma(i+1)$ .

Es decir, ¿existe una identidad simple para $\frac{\sum_{k=0}^{n-1}kA(n,k)}{n!}$ . ¿O existe un resultado asintótico de la forma:

$$\text{ as } n \rightarrow \infty, \frac{\sum_{k=0}^{n-1}kA(n,k)}{n!} \rightarrow X $$

Answer 1

Si arreglas $k$ y que $n$ ir a $\infty$ está bastante claro que $\frac{A(n,k)}{n!}$ es decir, la probabilidad de que exactamente $k$ números tendrán la propiedad deseadad tenderá a $0$ . por otro lado si inviertes tu desigualdad obtienes una propiedad dual. claramente su expectativa es la misma que la que estás considerando (porque el número para la permutación original es igual al dual de la permutación invertida y cada permutación tiene su única inversa, donde por inversa quiero decir $a, b, c, d \rightarrow d, c, b, a$ - escribirlo en orden inverso). además para cada permutación esos dos números suman $n-1$ por lo que la expectativa de cada uno de ellos es $(n-1)/2$ . ¿es esto lo que preguntas?

una pregunta diferente, probablemente más interesante / complicada, sería encontrar el límite de $\frac{A(n,k(n))}{n!}$ donde $k(n)$ es alguna función especificada

Answer 2

Como ha señalado mm-aops, $$ \frac{\sum_{k=0}^{n-1}kA(n,k)}{n!} = \frac{n-1}{2} \implies \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n-1}kA(n,k)}{n!} = \infty $$ debido a la simetría de las permutaciones en $S_n$ . Observe lo que sucede para los pequeños $n$ en esta tabla:

1: [1] 0.0
2: [1, 1] 0.5
3: [1, 4, 1] 1.0
4: [1, 11, 11, 1] 1.5
5: [1, 26, 66, 26, 1] 2.0
6: [1, 57, 302, 302, 57, 1] 2.5
7: [1, 120, 1191, 2416, 1191, 120, 1] 3.0
8: [1, 247, 4293, 15619, 15619, 4293, 247, 1] 3.5
9: [1, 502, 14608, 88234, 156190, 88234, 14608, 502, 1] 4.0