Notación generalmente aceptada para referenciar la función sin definirla.

Question

Dejemos que $F\subseteq (\mathbb R \to\mathbb R)$ sea algún espacio de funciones, y sea $G:F\to \mathbb R$ ser un funcional. Tengo una declaración de la siguiente forma: $$\begin{align}\text{Let } &f^*(x):=x^2. \quad\quad\quad \text{Then }\\ &f^*\in \arg\max_{f\in F} G(f) \end{align}$$

En lugar de definir primero una función y luego referenciarla, me gustaría comprimir esto en una ecuación por razones de brevedad. Algo así como:

$$(x\mapsto x^2)\in \arg\max_{f\in F} G(f)$$

¿Existe una notación generalmente aceptada como ésta? Preferiría no inventar algo nuevo y desconocido.

Answer 1

No entiendo o bien de sus declaraciones, por lo que ambas son demasiado concisas para ser legibles.

¿Quiere decir que $f^*$ que es $\underset{f \in F}{\operatorname{argmax}} G(f)$ resulta ser la función definida por $f^*(x) = x^2$ ? Si es así, por el bien de comprensibilidad En lugar de la brevedad, debes escribirlo con palabras en una frase completa: por ejemplo,

Dejemos que $f^* = \underset{f \in F}{\operatorname{argmax}} G(f)$ . Luego resulta que por razones misteriosas $f^*(x) = x^2$ .

(Posiblemente con una explicación de por qué esta es la función que maximiza $G(f)$ .)

O posiblemente (después de las recientes ediciones, esto parece más cercano al tipo de énfasis que quieres):

Dejemos que $f^* \in F$ sea dada por $f^*(x) = x^2$ . Entonces $f^* \in \underset{f \in F}{\operatorname{argmax}} G(f)$ .

Answer 2

Si no quieres inventar algo nuevo puedes escribir $$ \big(\arg\max_{f\in F} G(f) \big)(x) = f^\star(x) = x^2. $$ Sin embargo, en mi opinión sería preferible escribirlo como $$ f^*=\arg\max_{f\in F} G(f),\; f^*(x)=x^2, $$ que tiene aproximadamente la misma longitud.