Demuestra que si $p$ es una primicia del impar entonces $p$ divide $ \lfloor (2+ \sqrt5 )^p \rfloor -2^{p+1}$

Question

Demuestra que si $p$ es una primicia del impar entonces $p$ divide

$ \lfloor (2+ \sqrt5 )^p \rfloor -2^{p+1}$

¿Se puede generalizar este resultado a un resultado sobre $p^n$ en lugar de p para p un impar Prime?

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Estoy luchando por progresar en esta cuestión. Aquí está mi trabajo hasta ahora:

Página 1, trabajando

Página 2 trabajando

No sé si voy por el buen camino o si me dirijo al abismo.

Answer 1

Deje que $$N=(2+ \sqrt {5})^p+(2- \sqrt {5})^p.$$ Tengan en cuenta que $N$ es un número entero. Hay varias maneras de ver esto. Uno puede, por ejemplo, expandirse usando el teorema del binomio, y observar que los términos que involucran a los poderes Impares de $ \sqrt {5}$ cancelar.

Porque $(2- \sqrt {5})^p$ es un número negativo cercano a $0$ se deduce que $N= \left\lfloor (2+ \sqrt {5})^p \right\rfloor $ .

En las dos expansiones del binomio, todos los coeficientes del binomio $ \binom {p}{k}$ aparte de la primera y la última son divisibles por $p$ . El primer término de cada expansión es $2^p$ . Concluimos que $N \equiv 2 \cdot 2^p \pmod {p}$ y el resultado sigue.