Duda sobre la derivación de la velocidad de escape

Question

En mi libro de texto la derivación es así:

La velocidad mínima necesaria para proyectar un cuerpo desde la superficie de la Tierra de forma que nunca vuelva a ella se llama velocidad de escape. Si se imparte una velocidad mayor que la de escape, el cuerpo escapará y abandonará la superficie. Si se imparte una velocidad menor que la de escape, volverá a caer a la superficie o estará en una órbita. Un cuerpo lanzado con velocidad de escape sale de la atracción gravitatoria de la Tierra. El trabajo realizado para desplazar el cuerpo desde la superficie de la Tierra ( $r=R_e$ ) hasta el infinito ( $r=\infty$ ) viene dada por:

$$\int dW=\int^{\infty}_{R_e}\frac{GM_e m}{r^2}dr$$

o

$$W=GM_e m\int^{\infty}_{R_e}\frac{1}{r^2}dr=-GM_e m\frac{1}{r}\Biggr| ^{\infty}_{R_e}$$

$$=-GM_e m\left(\frac{1}{\infty}-\frac{1}{R_e}\right)\Rightarrow W=\frac{GM_e m}{R_e}$$

Dejemos que $v_e$ sea la velocidad de escape del cuerpo de masa m, entonces la energía cinética del cuerpo viene dada por

$$\frac{1}{2}mv^2=\frac{GM_e m}{R_e}\Rightarrow v_e=\sqrt{2gR_e}=11.2 \:\text{kms}^{-1}$$

Pero el trabajo no está hecho $Fdx=Fdx\cos z$ . La dirección de la fuerza y del desplazamiento es antiparalela pero no hay signo -ve en la derivación. ¿He entendido algo mal?

Answer 1

Aquí, la fuerza es la fuerza usted se aplican al cuerpo, y no la fuerza que la Tierra le aplica. Como $F|_{by\,Earth} = -\frac{GMm}{r^2}\hat r$ y $F|_{by\,you} = - F|_{by\,Earth}$ , $F|_{by\,you} = \frac{GMm}{r^2}\hat r$ .

Por lo tanto, la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección.

Answer 2

Trabajo realizado para desplazar el cuerpo desde la superficie de la Tierra ( $r=R_e$ ) hasta el infinito ( $r=\infty$ ) viene dada por:

$$\int dW=\int^{\infty}_{R_e}\frac{GM_e m}{r^2}dr$$

Eso es bastante descuidado, y es incorrecto. Desgraciadamente, una vez que un error llega a un texto de física de la India, el error se propaga a muchos textos de física de la India. He encontrado este error descuidado en tres libros de texto de física de la India hasta ahora.

Es obvio que el trabajo tiene que ser negativo. La velocidad inicial es distinta de cero y, por tanto, la energía cinética inicial es positiva. La velocidad final es idéntica a cero y, por tanto, también lo es la energía cinética final. Esto significa que el cambio de energía cinética es negativo. Como el trabajo es igual al cambio de energía cinética en el caso de una fuerza conservativa, el trabajo realizado por la gravedad también debe ser negativo. Cuando se calcula correctamente, esta cantidad negativa de trabajo es exactamente lo que se necesita para derivar la velocidad de escape como $v_e = \sqrt{2 g R_e}$ .