Probabilidad de que un evento ocurra más veces que al menos otro evento

Question

Tengo problemas para formular este problema: ¿Cómo averiguar la probabilidad de que un suceso A ocurra más veces que al menos uno de los sucesos B, C o D? Asumiendo que los eventos pueden tener diferentes probabilidades de ocurrir.

Por ejemplo, si lanzo un dado de 6 caras 10 veces, ¿cuáles son las probabilidades de que el 2 aparezca más veces que el 3, el 4 o el 5?

Contexto: Estaba hablando del juego de mesa Colonos de Catán con unos amigos. En el juego se lanzan 2 dados y se suman los resultados. Estoy tratando de averiguar, después de lanzar el par de dados 10 veces, cuál es la probabilidad de que la suma 4 aparezca más veces que 6, 7 u 8. Gracias de antemano.

Answer 1

Para su ejemplo, los resultados totales = $6^{10}$ cada uno con la misma probabilidad.

Ahora lo difícil es calcular el número de casos favorables. Tomemos los casos en los que ocurre el 3 $x$ veces con $x$ que va de 1 a 10 y el número de veces que aparece 2 va de 0 a $x-1$ para cada caso. (hacerlo contando las formas de seleccionar el número requerido de posiciones de 10 posiciones ).

De forma similar, tome los casos para 4 . Pero considera sólo los casos en los que la aparición de 3 y 5 es menor o igual que la aparición de 2.

Del mismo modo, tome los casos para 5. Pero considera sólo los casos en los que la aparición de 4 y 3 es menor o igual a la aparición de 2.

Answer 2

Supongamos que $A_j$ , $j=1\ldots k$ son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos (es decir, en cada ensayo ocurrirá exactamente uno de ellos) con probabilidades $p_1, \ldots, p_k$ respectivamente. Toma $n$ ensayos independientes con estas probabilidades, y dejemos que $N_i$ sea el número de veces que $A_i$ se produce en estos $n$ ensayos. A continuación, $(N_1, \ldots, N_k)$ tienen una distribución multinomial con parámetros $n, p_1, \ldots, p_k$ : $$P(N_1 = x_1, \ldots, N_k = x_k) = \dfrac{n!}{x_1! \ldots x_k!} p_1^{x_1} \ldots p_k^{x_k}$$
donde $x_i$ son enteros no negativos con $x_1 + \ldots + x_k = n$ .

Si estamos interesados en la probabilidad de que $N_1$ es mayor que al menos uno de $N_2, N_3, N_4$ podemos meter en el mismo saco todas las posibilidades que no sean $A_1, \ldots, A_4$ juntos como $A_5$ . A continuación, debemos añadir $P(N_1 = x_1, \ldots, N_5 = x_5)$ para todos los casos en los que $x_1 > \min(x_2, x_3, x_4)$ . Tenga en cuenta que $x_5 = n - x_1 - \ldots - x_4$ y debemos tener $x_5 \ge 0$ así que $x_1 \le n - x_2 - x_3 - x_4$ .

$$ \sum_{x_1 = 1+\min(x_2,x_3,x_4)}^{n - x_2 - x_3 - x_4} \sum_{x_2 = 0}^{n - x_3 - x_4} \sum_{x_3 = 0}^{n - x_4} \sum_{x_4 = 0}^n P(N_1 = x_1, \ldots, N_4 = x_4, N_5 = n - x_1 - x_2 - x_3 - x_4)$$