Demostrar que tres eventos son mutuamente independientes

Question

Supongamos que:

• los acontecimientos $A$ y $B\cap C$ son independientes.

• los acontecimientos $B$ y $A\cap C$ son independientes.

• los acontecimientos $C$ y $A\cap B$ son independientes.

• los acontecimientos $A$ y $B\cup C$ son independientes.

• $P(A),P(B),P(C)$ son distintos de cero.

Demostrar que $A,B,C$ son mutuamente independientes.

Me he dado cuenta de que $P(A\cap B \cap C)=P(A)P(B\cap C)=P(B)P(A\cap C)=P(C)P(A\cap B)$ .

¿Y entonces qué? Soy nuevo en la probabilidad, y puede que me esté perdiendo algún truco estándar...

Answer 1

$ P(A \cap (B\cup C)) = P(A \cap B)+ P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$

$P(A \cap (B\cup C)) = P(A ) P(B\cup C))= P(A )(P(B)+P(C)-P(B \cap C))$

$\Rightarrow P(A \cap B)+ P(A \cap C)= P(A )(P(B)+P(C))$

$ \Rightarrow P(B)P(C)( P(A \cap B)+ P(A \cap C))= P(A ) P(B)P(C) (P(B)+P(C)) $

$ \Rightarrow P(A \cap B\cap C)= P(A ) P(B)P(C) $