Un ejercicio de mi hermano: $\int_{-1}^1\frac{\ln (2x-1)}{\sqrt[\large 6]{x(1-x)(1-2x)^4}}\,dx$

Question

Mi hermano me pidió para calcular la siguiente integral, antes de que tuviéramos la cena y yo hemos estado trabajando para calcularlo desde entonces ($\pm\, 4$ horas). Él dijo, tiene una hermosa forma cerrada, pero creo que no, y me imagino que él ha tratado de engañarme de nuevo (como de costumbre). Así que tengo curiosidad, ¿cuál es la forma cerrada (si cualquier) de la siguiente integral:

\begin{equation} \int_{-1}^1\frac{\ln (2x-1)}{\sqrt[\large 6]{x(1-x)(1-2x)^4}}\,dx \end{equation}

He intentado por partes método de fracciones parciales (idea estúpida), la conversión en serie (no familiar), muchas sustituciones, tales como: $u=2x-1$, $u=1-x$, $x=\cos^2\theta$, etc, pero yo no y no consiguió nada. Wolfram Alpha también no dar una respuesta. Él está mintiendo a mí o a decir la verdad, no sé. Podría alguien, por favor me ayudan a obtener la forma cerrada de la integral con todos los métodos (lo que sea)? Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Muy dudo que uno puede evaluar esa integral a mano, sin embargo el integral tiene una forma cerrada por Mathematica que: %#% $ #% donde $$\frac{2 \left(4 (-1)^{5/6} \, _4F_3\left(1,1,1,\frac{7}{6};2,2,2;\frac{1}{9}\right)+8 (-1)^{5/6} \log (3) \, _3F_2\left(1,1,\frac{7}{6};2,2;\frac{1}{9}\right)+432 (-1)^{5/6} \log ^2(2)-189 (-1)^{5/6} \log ^2(3)+648 (-1)^{5/6} \log (3) \log (2)-54 i \psi ^{(1)}\left(\frac{5}{6}\right)+54 \sqrt{3} \psi ^{(1)}\left(\frac{5}{6}\right)\right)+\pi ^2 \left(-963 \sqrt{3}+1827 i\right)-54 i \left(\sqrt{3}-13 i\right) \pi \log (432)}{1728\ 2^{2/3}},$ es la función hipergeométrica generalizada, y $pF_q(a;b;z)$ es la función Poligamma de orden $\psi^{(n)}$.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario y esta no es la respuesta, pero seguir a @David H del comentario. Tal vez su hermano medios

$$\int_{\color{red}{\large\frac12}}^1\frac{\ln (2x-1)}{\sqrt[\large 6]{x(1-x)(1-2x)^4}}\ dx.\tag1$$

Si es así, entonces establecimiento $u=2x-1$ $(1)$rendimientos $$ \frac1{\sqrt[\3]{4}}\int_{0}^1\frac{\ln u}{\sqrt[\grande 6]{(1+u)(1-u)u^4}}\ du=\frac1{\sqrt[\3]{4}}\int_{0}^1\frac{\ln u}{\sqrt[\grande 6]{(1-u^2)u^4}}\ du.\tag2 $$ Establecimiento $t=u^2$ rendimientos $$ \frac1{\sqrt[\3]{128}}\int_{0}^1\frac{\ln t}{(1-t)^{\large\frac16}t^{\large\frac56}}\ dt=\frac1{\sqrt[\3]{128}}\int_{0}^1(1-t)^{-\large\frac16}t^{\large-\frac56}\ln t\ dt.\tag3 $$

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Ahora, considere la función beta $$ \text{Beta}(x,y)=\int_{0}^1t^{\large x-1}(1-t)^{\large y-1}\ dt.\tag4 $$ La diferenciación $(4)$ con respecto al $x$ rendimientos \begin{align} \frac{\partial}{\partial x}\text{B}(x,y)&=\int_0^1\frac{\partial}{\partial x}\left(t^{\large x-1}(1-t)^{\large y-1}\right)\ dt\\ (\psi(x)-\psi(x+y))\text{B}(x,y)&=\int_0^1 t^{\large x-1}(1-t)^{\large y-1}\ln t\ dt,\tag5 \end{align} donde $\psi(\cdot)$ es la función digamma.

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El uso de $(5)$ $(3)$ resulta ser $$ \frac1{\sqrt[\a gran 3]{128}}\left(\psi\left(\frac16\right)-\psi\left(1\right)\right)\text{B}\left(\frac16,\frac56\right)=\large\color{blue}{-\frac\pi{\sqrt[\grande 3]{256}}\left(\pi\sqrt{3}+4\ln2+3\ln3\right)}. $$ Su hermano se burla de usted o él simplemente no encuentra el intervalo de integral.