Análisis de la función $f$ en el entorno real al entorno hiperreal: ¿se pueden cambiar todos los "si" por "si"?

Question

Una función $f$ en un intervalo $I$ es uniformemente continua si su extensión natural $f^{*}$ en $I^{*}$ tiene la siguiente propiedad: > > para cada par de hiperreales $x$ y $y$ en $I^{*}$ , si $x\approx y$ entonces $f^*(x)\approx f^*(y)$

La pregunta es, para el primer "si": ¿Puede cambiarse por "si y sólo si"?

La misma pregunta para la cita de abajo:

Una función real $f$ es continua en un número real estándar $x$ si para cada hiperrealista $x'$ infinitamente cerca de $x$ el valor $f(x')$ también está infinitamente cerca de $f(x)$ . Esto recoge la definición de continuidad de Cauchy.

Answer 1

Sí. Si $f$ es uniformemente continua y $x,y \in I^*$ con $x \approx y$ están dadas, entonces para un $\varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0}$ puedes elegir $\delta \in \mathbb{R}_{> 0}$ tal que para todo $r,s \in I$ tal que $|r-s| < \delta$ tenemos $|f(r)-f(s)| < \varepsilon$ . Por transferencia se entiende $$\forall\, r,s \in I^* \: : \: |r-s| < \delta^* \Rightarrow |f^*(r)-f^*(s)| < \varepsilon^*$$ Pero $|x-y| < \delta^*$ , por lo que tenemos $|f^*(x)-f^*(y)| < \varepsilon^*$ . Desde $\varepsilon$ era arbitraria, $f^*(x) \approx f^*(y)$ .

El mismo razonamiento puede aplicarse a la continuidad puntual.