Dejemos que $k\subset K$ sea una extensión normal de campos de característica $p>0$ con $G=\text{Aut}_k(K)$ (los automorfismos $\varphi\colon K\to K $ con $\varphi|_k = \text{id}\colon k\to k$ ). Demuestre que la extensión $k\subset K^G$ es puramente inseparable.
Así que tenemos $k\subset K^G\subset K$ con $k\subset K$ normal, lo que implica que $K^G\subset K$ también es normal. ¿Cómo se relacionan las extensiones puramente inseparables y las extensiones normales?
Dejemos que $a\in K^G$ tienen un polinomio mínimo $f\in k[x]$ . Desde $K/k$ es normal y $f$ tiene una raíz en $K$ sabemos que $f$ factores completamente en $K[x]$ y que $G$ actúa transitoriamente sobre las raíces de $f$ . Pero sabemos que $a$ es una raíz de $f$ y que $\sigma(a)=a$ para cualquier $\sigma\in G$ Por lo tanto $a$ es la única raíz de $f$ o en otras palabras, $f=(x-a)^n$ para algunos $n$ . Esta es la definición de $K^G/k$ siendo puramente inseparables.
(Tenga en cuenta que, en realidad, la característica $p$ no es necesario en absoluto para este argumento. Lo que ocurre es que en la característica $0$ toda extensión es separable, y si $L/F$ es tanto separable como puramente inseparable, entonces $L=F$ .)
Concluir que $k\subset K^G$ es puramente inseparable, creo que necesitaríamos que $n = p^e$ para algunos $e\geq 0.$ Pero no veo cómo se deduce de este argumento.
Personalmente, no lo consideraría un requisito de ser puramente inseparable, sino más bien un teorema sobre tales extensiones. Este es el argumento: para $k$ un campo característico $p$ , un polinomio $f\in k[x]$ es separable (tiene raíces distintas) si y sólo si $f$ es lineal o $f'= 0$ (este último es el caso si y sólo si $f(x)=g(x^p)$ para algún otro polinomio $g\in k[x]$ ).
Por lo tanto, si un polinomio $f\in k[x]$ sólo tiene una raíz, entonces $f$ es lineal o $f(x)=g(x^p)$ para algunos $g\in k[x]$ si se trata de esto último, entonces $g$ ciertamente no puede tener múltiples raíces desde entonces $f$ también lo haría, así que $g$ es lineal o $g(x)=h(x^p)$ para algunos $h\in k[x]$ etc., lo que lleva a la conclusión de que $f(x)=x^{p^e}-b$ para algunos $e$ y algunos $b$ .
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