¿Por qué no es una matriz de varianza-covarianza válida, e inherentemente no es semidefinida positiva?

Question

      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,]  1.0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5
[2,] -0.5  1.0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5
[3,] -0.5 -0.5  1.0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5
[4,] -0.5 -0.5 -0.5  1.0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5
[5,] -0.5 -0.5 -0.5 -0.5  1.0 -0.5 -0.5 -0.5
[6,] -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5  1.0 -0.5 -0.5
[7,] -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5  1.0 -0.5
[8,] -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5  1.0

La razón por la que lo sé es porque esto resulta en un valor propio negativo, y las matrices de varianza-covarianza son semidefinidas positivas.

Mi idea era que las varianzas fueran uno, de modo que las correlaciones fueran las covarianzas, y por tanto fueran iguales a -0,5.

¿Hay algo en la teoría que se me escapa? Entiendo que no es semidefinida positiva y cómo demostrarlo, pero tengo más curiosidad por saber qué supuestos viola esto en términos de probabilidad/estadística.

Fui a generar datos MVN con esta estructura de varianza-covarianza y me di cuenta de que no era semidefinida positiva, y entonces sentí curiosidad por saber qué era lo que estaba intrínsecamente mal en esta matriz.

Answer 1

Como se muestra aquí , un $n\times n$ matriz con $a$ en la diagonal y $b$ en otro lugar, es decir, la matriz $$\begin{bmatrix} a & b & \ldots & b\\ b & a & \ldots & b\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b & b & \ldots & a\end{bmatrix}$$ tiene $\color{blue}{a +(n-1)b}$ como uno de sus valores propios. Para su matriz particular, tenemos $a = 1, b = -0.5, n =8$ Así que $$a + (n-1)b = 1 + 7\times (-0.5) = -2.5< 0.$$ Por lo tanto, su matriz simétrica tiene un valor propio negativo ( $-2.5$ ), por lo que no puede ser semidefinido positivo. Esto implica que no es una matriz de varianza-covarianza válida.

EDIT: Acabo de darme cuenta de que has dicho que ya lo sabes...