Problema de la doble integral

Question

Se me da que $$ f(x,y)= \cases{ \left(y-\tfrac{1}{2}\right)\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{-3} & \text{if } \left|y-\tfrac{1}{2}\right|<\left|x-\tfrac{1}{2}\right| \\ 0 & \text{otherwise} } $$

Quiero encontrar las integrales dobles $$\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,dx\;dy$$ y $$\int_0^1\int_0^1 \left \lvert f(x,y)\right \rvert\,dx\;dy.$$

He intentado dividir cada integral en dos integrales en las que la integral exterior va de $0$ a $\frac{1}{2}$ y de $\frac{1}{2}$ a $1$ . Pero, tengo problemas para determinar cuáles deben ser los límites de la integral interna.

Answer 1

$$f(x,y)= \cases{ (y-\tfrac{1}{2})(x-\tfrac{1}{2})^{-3}, & \text{if } |y-\tfrac{1}{2}|<|x-\tfrac{1}{2}| \\ 0, & \text{otherwise}. }$$

Tenga en cuenta que $|y-\tfrac{1}{2}|<|x-\tfrac{1}{2}|$ es cierto para: $$0 \leq x<1/2,\quad x<y<1-x$$ o $$1/2<x\leq1,\quad 1-x<y<x $$

Así, $$\int_0^1\int_0^1f(x,y)\,dx\,dy = \int_0^{0.5}dx\int_x^{1-x}dy\,f(x,y) + \int_{0.5}^{1}dx\int_{1-x}^{x}dy\,f(x,y),$$

y de manera similar

$$\int_0^1\int_0^1|f(x,y)|\,dx\,dy = \int_0^{0.5}dx\int_x^{1-x}dy\,|f(x,y)| + \int_{0.5}^{1}dx\int_{1-x}^{x}dy\,|f(x,y)|.$$

Answer 2

No es tan difícil ya que sólo nos interesa $\;x,y>0\;$ :

$$\begin{align*}&x,y\ge\frac12\implies y-\frac12<x-\frac12\implies y<x\\{}\\&0<x<\frac12\;,\;\;y\ge\frac12\;\implies\;y-\frac12<\frac12-x\implies y\le-x+1\\{}\\&0<x,y<\frac12\;\implies\;\frac12-y<\frac12-x\implies y>x\\{}\\&x\ge\frac12\,,\,0<y<\frac12\;\implies\;\frac12-y<x-\frac12\implies y>-x+1\end{align*}$$

Dibuja las líneas anteriores que determinan el dominio de integración, y entonces obtenemos:

$$\int\limits_0^1\int\limits_0^1 f(x,y)\,dxdy=\int\limits_0^{1/2}\int\limits_x^{-x+1} f(x,y) \,dydx+\int\limits_{1/2}^1\int\limits_{-x+1}^x f(x,y)\,dydx$$