El espacio de las matrices reales cuadradas como colector

Question

Dejemos que $\mathrm{M}(n,\mathbb{R})$ sea el espacio de $n\times n$ matrices sobre $\mathbb{R}$ . Considere la función

$m \in \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \mapsto (a_{11},\dots,a_{1n},a_{21}\dots,a_{nn}) \in \mathbb{R}^{n^2}$ .

El espacio $\mathrm{M}(n,\mathbb{R})$ es localmente euclidiana en cualquier punto y tenemos un único atlas gráfico. He leído que la función es bicontinua, pero ¿cuál es la topología en $\mathrm{M}(n,\mathbb{R})$ ?

Segunda pregunta... en qué sentido se define un $C^{\infty}$ cuando no hay cambios de coordenadas (no triviales)? ¿Tenemos que considerar sólo el cambio de identidad?

Gracias.

Answer 1

La topología en $\mathrm{M}(n, \mathbb{R})$ haciendo que el mapa que das sea bicontinuo es, bueno, la topología que hace que ese mapa sea bicontinuo. Menos tautológicamente, es la topología inducida por cualquier norma sobre $\mathrm{M}(n, \mathbb{R})$ . (Recordemos que todas las normas en un espacio vectorial real de dimensión finita son equivalentes).

Como el espacio euclidiano tiene una estructura lisa canónica, el hecho de tener un atlas de una sola carta significa que se puede dar $\mathrm{M}(n, \mathbb{R})$ la estructura lisa tirando de ella desde $\mathbb{R}^{n^2}$ . No hay condiciones de compatibilidad que verificar: el mapa de transición de identidad siempre será suave.