Pregunta sobre un O.D.E.

Question

Tengo este teorema:

Supongamos que $U$ es una vecindad de $\theta$ en un espacio de Hilbert $H$ y que $f\in C^2(U,\mathbb{R}^1)$ . Supongamos que $\theta$ es el único punto crítico de $f$ y que $A=d^2f(\theta)$ ( $A$ es un operador autoadjunto) con núcleo $B$ . Si $0$ es un punto aislado del espectro $\sigma(A)$ o no en $\sigma(A)$ entonces existe una bola $B_\delta$ y un $C^1$ cartografía $h:B_\delta\cap B\to B^\perp$ tal que $$ > f\circ\phi(z+y)=\frac12(Az,z)+f(h(y)+y),\quad\forall x\in B_\delta, $$ donde $y=P_Nx$ , $z=P_{B^\perp}x$ y $P_B$ es la proyección ortogonal en el subespacio $B$ .

Dejemos que $\eta$ sea el flot definido por el siguiente o.d.e

$$ \begin{cases} \displaystyle\eta '(s)=- \frac{A\eta(s)}{||A\eta (s)||}\\ \eta(0)=u \end{cases} $$

tenemos que A es un operador continuo, y que $A_{|_{N}}$ es invertible si $u \in N$ por qué $\eta(t,u)\in N$ ?

Gracias.

Answer 1

A partir del texto citado proporcionado por Vrouvrou, tenemos que $A = d^2f(\theta)$ para algún punto crítico aislado $\theta$ de $f \in C^2(U, \Bbb R^1)$ y (aquí tenemos un hecho "crítico") $A$ es autoadjunto, es decir, $A = A^T$ .

Una vez que se concede que $A$ es continua y autoadjunta, el resultado deseado se deduce inmediatamente; los orígenes de $A$ como la segunda derivada de $d^2f(\theta)$ en un punto crítico $\theta$ puede quedar atrás.

En primer lugar, recordamos el siguiente hecho conocido: con $A$ como en el caso anterior, y $B = \ker A$ tenemos $A(B^\bot) \subset B^\bot$ ya que $y \in B^\bot$ si y sólo si $\langle x, y \rangle = 0$ para cualquier $x \in B$ . Entonces para tal $x$ y $y$ , $\langle x, Ay \rangle = \langle A^Tx, y \rangle = \langle Ax, y \rangle = 0$ ya que $Ax = 0$ , mostrando $A(B^\bot) \in B^\bot$ . $B$ también es cerrado ya que es el núcleo del operador continuo $A$ .

Podemos utilizar este resultado para abordar el problema en cuestión. En primer lugar, hay que tener en cuenta que para $0 \ne \eta \notin B$ , $A\eta \ne 0$ , para $A\eta = 0$ implicaría $\eta \in B = \ker A$ , contradiciendo $\eta \notin B$ . Así, $\Vert A \eta \Vert \ne 0$ por lo que el campo vectorial $-(1 / \Vert A \eta \Vert) A \eta$ está bien definido en el conjunto abierto $H - B$ . Si $\eta(s, u)$ satisface la ecuación

$\eta'(s, u) = -\dfrac{1}{\Vert A \eta \Vert}A\eta(s, u) \tag{1}$

con

$0 \ne \eta(0, u) = u \in B^\bot, \tag{2}$

entonces para cualquier constante $x \in B$ tenemos

$\dfrac{d}{ds}\langle x, \eta(s, u) \rangle = \langle x, \eta'(s, u) \rangle = \dfrac{-1}{\Vert A \eta \Vert}\langle x, A\eta(s, u) \rangle = \dfrac{-1}{\Vert A \eta \Vert} \langle Ax, \eta(s, u) \rangle = 0, \tag{3}$

desde $Ax$ desaparece en virtud de $x \in B = \ker A$ . Esto demuestra que $\langle x, \eta(s, u) \rangle$ es constante a lo largo de las curvas integrales $\eta(s, u)$ de (1). Dado que $u \in B^\bot$ , $\langle x, u \rangle = 0$ para todos $x \in B$ . Por lo tanto, $\langle x, \eta(u, s) \rangle = 0$ también, mostrando $\eta(s, u) \in B^\bot$ para todos $s$ para el que se define. QED.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!