Déjalo, $a_1=1, b_1=3, c_1=3$ y $d_1=1$
Dónde
$a_2=a_1+c_1,b_2=b_1+d_1, c_2=a_1+b_1+c_1 $ y $d_2=a_1+d_1$
y definimos
$$a_n=a_{n-1}+c_{n-1}$$ $$b_n=b_{n-1}+d_{n-1}$$ $$c_n=a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}$$ $$d_n=a_{n-1}+d_{n-1}$$
entonces tenemos esta relación aproximada de implicación de $\phi$
$$a_n\phi^{3/2}+b_n\phi^{1/2}-c_n\phi\approx d_n$$
Dónde $\phi={\sqrt{5}+1\over2}$ que se conoce como la razón áurea, relacionada con los conocidos números de Fibonacci.
Al parecer, $d_n$ es casi un entero para cualquier valor de n. Como $n\to \infty$ vemos $d_n \to$ un número entero
Mi pregunta es: ¿Puede alguien explicar por qué esta parte $a_n\phi^{3/2}+b_n\phi^{1/2}-c_n\phi$ ¿resultan siempre valores casi enteros para cualquier n?
$\phi$ es un número irracional y es interesante ver $\phi$ convierten la ecuación anterior en un resultado casi entero.
Los ejemplos de la ecuación aproximada anterior, dan
$$\phi^{3/2}+3\phi^{1/2}-3\phi \approx 1$$ $$4\phi^{3/2}+4\phi^{1/2}-7\phi \approx 2$$ $$11\phi^{3/2}+6\phi^{1/2}-15\phi \approx 6$$ $$26\phi^{3/2}+12\phi^{1/2}-32\phi \approx 17$$ $$58\phi^{3/2}+29\phi^{1/2}-70\phi \approx 43$$
