La composición con un epimorfismo preserva la imagen en una categoría abeliana

Question

Dejemos que $$ A \overset{\pi}{\twoheadrightarrow}B \overset{f}{\to} C $$ sean mapas en una categoría abeliana $\mathcal{A}$ , donde $\pi$ es un epimorfismo. Me gustaría demostrar que $\operatorname{im}(f\circ \pi) \cong \operatorname{im} f$ .

Puedo demostrar el resultado utilizando el teorema de incrustación de Freyd-Mitchell, pero me gustaría una demostración más elemental, utilizando los axiomas de las categorías abelianas.

Mi prueba utilizando F-M Embedding

Es claramente cierto para $R$ -módulos. El teorema de incrustación nos dice que existe un functor exacto y totalmente fiel $F:\mathcal{A} \to R\mathrm{Mod}$ para algún anillo $R$ . Entonces $F(f\circ \pi) = F(f)\circ F(\pi)$ y por la exactitud $F(\pi)$ es un epimorfismo, por lo que $\operatorname{im} F(f\circ \pi) = \operatorname{im} F(f)$ .

Lema: Para cualquier morfismo $\alpha:X\to Y$ en $\mathcal{A}$ tenemos $F(\operatorname{im} \alpha) = \operatorname{im} F(\alpha)$ .

Prueba: Por definición de $\operatorname{im}$ hay morfismos $X \overset{e}{\twoheadrightarrow} \operatorname{im} \alpha \overset{m}{\rightarrowtail}Y$ tal que $m$ es mono y $m\circ e = \alpha$ . Además, como las categorías abelianas tienen todos los igualadores, $e$ es un epimorfismo. Esto es tomado por $F$ a un diagrama $$ F(X) \overset{F(e)}{\twoheadrightarrow} F(\operatorname{im}\alpha) \overset{F(m)}{\rightarrowtail} F(Y), $$ donde $F(m)$ es mono y $F(e)$ es epi ya que $F$ es exacta, y $F(m)\circ F(e) = F(m\circ e) = F(\alpha)$ . Desde $F(m)$ es mono, hasta el isomorfismo podemos suponer que $F(\operatorname{im} \alpha)$ es un submódulo de $F(Y)$ y $F(m):F(\operatorname{im} \alpha) \hookrightarrow F(Y)$ es la inclusión.

Dejemos que $y \in \operatorname{im} F(\alpha)$ . Entonces $y = F(\alpha)(x)$ para algunos $x \in F(X)$ . Pero entonces $F(e)(x) = F(\alpha)(x) \in F(\operatorname{im}\alpha)$ . Así que $\operatorname{im} F(\alpha) \subseteq F(\operatorname{im}\alpha)$ .

A la inversa, dejemos que $y \in F(\operatorname{im}\alpha)$ . Entonces, como $F(e)$ está en, $y = F(e)(x)$ para algunos $x \in F(X)$ lo que significa que $y = F(\alpha)(x) \in \operatorname{im} F(\alpha)$ . Así que $\operatorname{im} F(\alpha) = F(\operatorname{im}\alpha)$ según sea necesario. $$\tag*{$\blacksquare$}$$

Así que finalmente tenemos que $F(\operatorname{im} (f\circ\pi)) = F(\operatorname{im} f)$ y se deduce por la plena fidelidad de $F$ que $\operatorname{im}(f\circ\pi) = \operatorname{im} f$ .

Mi pregunta

Esta prueba me parece bastante poco elegante, sobre todo porque utiliza el mazo de F-M Embedding. ¿Puede alguien darme una prueba más sencilla, especialmente una que sólo se base en los axiomas de las categorías abelianas? Gracias.

Answer 1

La imagen de $f:B\to C$ es $\ker \newcommand\coker{\operatorname{coker}}\coker f$ (considerado como un subobjeto de $B$ ). Así que queremos demostrar que $\ker \coker f = \ker \coker (f\pi)$ como subobjetos de $B$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $\coker f \cong \coker (f\pi)$ .

Ahora el cokernel de un morfismo es el coequipamiento del morfismo y $0$ por lo que basta con demostrar que, en general, los coigualadores no se ven afectados por la precomposición con epimorfismos.

Supongamos que tenemos un diagrama $A\twoheadrightarrow B \rightrightarrows C$ donde el epimorfismo es $\pi$ y las flechas paralelas son $f,g$ . Queremos demostrar que $q:C\to Q$ es un coequipamiento de $f$ y $g$ si y sólo si es un coigualador de $f\pi$ y $g\pi$ . Esto se deduce del hecho de que $hf = hg$ si y sólo si $hf\pi = hg\pi$ ya que $\pi$ es un epimorfismo. Esto nos dice que tenemos un natural (en $D$ ) biyección $$\{ h:C\to D \mid hf\pi = hg\pi \}\leftrightarrow \{ h : C\to D \mid hf = hg\},$$ y $q:C\to Q$ es un coequipamiento de $f$ y $g$ si y sólo si $q^*$ induce una biyección entre los mapas $Q\to D$ y el conjunto de la derecha, y $q$ es un coequipamiento de $f\pi$ y $g\pi$ si y sólo si $q^*$ induce una biyección entre los mapas $Q\to D$ y el conjunto de la izquierda, por lo que esta biyección establece la equivalencia.