Integración por sustituciones no evidentes

Question

La técnica estándar para evaluar la integral $$\int \sec x \,dx$$ es hacer la sustitución no obvia $$u = \sec x + \tan x, \qquad du = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx,$$ que transforma la integral en $$\int \frac{du}{u} .$$

¿Cuáles son otras integrales que se manejan bien con sustituciones no obvias?

Answer 1

Si no eres consciente de una sustitución, lo que suele ocurrir cuando no has intentado un problema de ese tipo, la sustitución suele parecer poco obvia (a mí me pasaba mucho cuando empezaba a aprender integración), algunos de los ejemplos que más me han gustado son:

Desde aquí : $$\int \frac{\mathrm{dx}}{x^4[x(x^5-1)]^{1/3}}$$

---

Esta es por mí: Deja que $x^5z^3=x^5-1$ . Así que $$x^5(z^3-1)=1\implies 5x^4(z^3-1)\mathrm{d}x+x^5(-3z^2\mathrm{d}z)=0\implies \mathrm{d}x=\frac{3xz^2\mathrm{d}z}{5(z^3-1)}$$ Así que: $$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4[x(x^5-1)]^{1/3}}\text{ or }\int x^{-13/3}(x^5-1)^{-1/3}\mathrm{d}x\\ =\int x^{-13/3}(x^5z^3)^{-1/3}.\frac{3xz^2\mathrm{d}z}{5(z^3-1)}=\frac35\int \frac{x^{-13/3}x^{-5/3}z^{-1}xz^2\mathrm{d}z}{x^{-5}}\\ =\frac35\int z\;\mathrm{d}z=\frac{3}{10}\left(\frac{x^5-1}{x^5}\right)^{2/3}+\mathcal{C}$$

Otro más:

Desde aquí $$K=\int\frac{\ln x\,dx}{x^2+2x+4}$$

---

Pruebe la sustitución $x = \dfrac{4}{y}$ para conseguirlo:

Este es de JimmyK4542 $$I = \int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln x}{x^2+2x+4}\,dx = \int_{-\infty}^{0}\dfrac{\ln \frac{4}{y}}{\frac{16}{y^2}+\frac{8}{y}+4} \cdot \dfrac{-4}{y^2}\,dy$$

$$= \int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln 4 - \ln y}{y^2+2y+4}\,dy = \ln 4 \int_{0}^{\infty}\dfrac{\,dy}{y^2+2y+4} - I$$

Así, $$2I = \ln 4 \int_{0}^{\infty}\dfrac{\,dx}{x^2+2x+4}$$ que es fácil de calcular.