Dejemos que $p>q$ sean primos tales que $p \equiv 1 \pmod q$ . Entonces existe exactamente un grupo abeliano (hasta el isomorfismo) de orden $pq.$

Question

Dejemos que $p>q$ sean primos tales que $p \equiv 1 \pmod q$ . ¿Podría alguien aconsejarme sobre cómo demostrar que existe exactamente un grupo abeliano (hasta el isomorfismo) de orden $pq$ ? Gracias.

Answer 1

Si $|G| = pq$ es abeliano, sea $H$ y $K$ denotan el subgrupo p-Sylow y q-Sylow respectivamente. Dado que $G$ es abeliana, $H, K \triangleleft G$ . Comprueba que :

a) $H\cap K = \{e\}$ y por lo tanto $G = HK$

b) $aba^{-1}b^{-1} = e$ para cualquier $a\in H, b\in K$

c) $H \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , $K \cong \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$

d) Concluir que $G \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ .

e) Ya que $p\neq q$ , concluyen que $G \cong \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$