Demuestre que un subespacio localmente compacto de un espacio de Hausdorff localmente compacto es abierto en su cierre

Question

Dejemos que $Y$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto y sea $X$ sea un subespacio localmente compacto de $Y$ . Demostrar que $X$ está abierto en $\overline{X}$ .

Parece que tengo que demostrar que existe un conjunto abierto $U$ de $Y$ tal que $X=U\cap\overline{X}$ . Como alternativa, ya que $Y$ es Hausdorff, podría demostrar que $\overline{X}\setminus{X}$ es compacto o cerrado. Sin embargo, no se me ocurre cómo hacer ninguna de estas cosas.

Por definición de compacto local, dado $x\in Y$ existe un conjunto abierto $U$ y un subespacio compacto $C$ tal que $x\in U\subset C$ . Desde $Y$ es Hausdorff, esta definición equivale a decir que dado $x\in Y$ y un barrio $U$ alrededor de $x$ existe una vecindad $V$ alrededor de $x$ tal que $\overline{V}\subset U$ y $\overline{V}$ es compacto. Creo que esta definición equivalente podría ser útil, pero no estoy seguro de cómo entrará en juego.

Answer 1

Demostramos el siguiente resultado más general:

Cada subespacio localmente compacto $X$ de un espacio de Hausdorff $Y$ está abierto en $\overline{X}$ .

Basta con considerar el caso $\overline{X} = Y$ y para demostrar que $X$ está abierto en $Y$ .

Cada $x \in X$ tiene un barrio abierto $U$ en $X$ tal que el conjunto $\overline{U}^X = \overline{U} \cap X$ es compacto y, en particular, cerrado en $Y$ . Pero $U \subset \overline{U} \cap X$ Por lo tanto $\overline{U} \subset \overline{U} \cap X \subset X$ . Sea $W$ estar abierto en $Y$ tal que $W \cap X = U$ . Entonces

$$x \in W \subset \overline{W} = \overline{W \cap X} = \overline{U} \subset X .$$

Aquí utilizamos un hecho bien conocido: Si $\overline{X} = Y$ y $W$ está abierto en $Y$ entonces $\overline{W} = \overline{W \cap X}$ . Esto es cierto porque si tenemos un $V \subset Y$ tal que $V' = V \cap W \ne \emptyset$ entonces $V \cap (W \cap X) = V' \cap X \ne \emptyset$ .

Answer 2

Sugerencia : Lo siguiente es equivalente para un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ :

• $A$ está abierto en $\overline A$ ,
• hay un abierto $U\subseteq X$ tal que $A$ está cerrado en $U$ ,
• hay un abierto $U\subseteq X$ y un cerrado $F\subseteq X$ tal que $F\cap U=A$ .

(Estos conjuntos se denominan cerrado localmente .)

Answer 3

Dejemos que $x\in X$ ya que $Y$ es localmente compacto y $X$ es un subconjunto localmente compacto de $Y$ . Existe un barrio abierto $V$ de $x$ cuya adhesión en $X$ es compacto. Podemos escribir $V=U\cap X$ donde $U$ es un subconjunto abierto de $Y$ . Sea $y\in \bar X\cap U$ . Desde $Y$ es Hausdorff, existe una secuencia $x_n\in X$ tal que $lim_nx_n=y$ ya que $x_n\in V$ deducimos que $y=lim_nx_n\in X$ ya que $V$ es un subconjunto compacto de $X$ . Resulta que $\bar X\cap U=X\cap U$ .