Sea A una variedad abeliana CM, digamos simple de dimensión g, con $End(A) = O_K$ , donde $K$ es un campo CM de grado $2g$ .
¿Existe un límite superior para la altura de Faltings $h(A)$ en términos del discriminante $d_K$ de $K$ ?
Fijar un $A$ con CM por $K$ y para cada $D$ , dejemos que $A_D$ sea el giro cuadrático de $A$ por $K(\sqrt{D})/K$ . Además, deja que $$h_{sf}(D)=\min(h(Dd^2):d\in K^*)$$ denotan la "altura libre de cuadrados" de $D$ . Entonces $$ h_{\text{Faltings}}(A_D) \gg h_{sf}(D), $$ lo que demuestra que no existe un límite inferior del tipo que se desea, ya que $K$ es fijo, mientras que $h_{sf}(D)$ puede ser arbitrariamente grande.
¿O se trata de tomar la altura semiestable de Faltings, es decir, la altura obtenida después de ir a un campo donde $A$ tiene una reducción semiestable. Para las variedades abelianas CM, se trataría de un campo en el que $A$ tiene en todas partes una buena reducción, por lo que la altura de Faltings proviene enteramente de los lugares arquimédicos. En este caso, se puede utilizar el hecho de que la altura de Faltings es más o menos igual a la altura del punto asociado en el espacio de moduli. Para una variedad abeliana CM principalmente polarizada, el punto de moduli viene dado esencialmente por los períodos, que son más o menos una base para $\mathcal{O}_K$ en $\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, parece que uno podría ser capaz de obtener un límite en términos de $\hbox{Disc}(K)$ .
Podrías intentar mirar primero el caso de las curvas elípticas, donde la relación entre la altura de Faltings y los períodos es muy explícita.
¡Muchas gracias por esto! Sí, me refería a la altura semiestable de Faltings. Intentaré seguir su sugerencia;
Colmez, en `Sur la hauteur de Faltings des varietes abeliennes CM' demuestra que para una curva elíptica CM $E$ , uno tiene $h(E) <<_{\epsilon} d^{\epsilon}$ donde $d = |discr(End(E))|$ (comentario (i) después de Corrolaire 7). Este es exactamente el tipo de límite que me gustaría tener para una variedad abeliana CM simple general. Creo que probablemente se puede deducir de la fórmula conjetural de Colmez para la altura de Faltings, pero tal vez no sea difícil de demostrar incondicionalmente utilizando la sugerencia de Joe.
@user42721: Esto le dará un límite explícito con $\epsilon = 1/2$ pero ir más allá implicará los teoremas de Yuan-Zhang y Brauer-Siegel.
Tal y como está planteada tu pregunta, la respuesta es positiva por el teorema de finitud de Faltings para las variedades abelianas: sólo hay un número finito de $K$ -clases de variedades abelianas g-dimensionales sobre $K$ con una buena reducción sobre $O_K$ . En particular, la altura de Faltings de un esquema abeliano sobre $O_K$ de dimensión relativa $g$ está acotado (ineficazmente hablando) en términos de $g$ y $K$ (o $g$ y $d_K$ por Hermite-Minkowski).
Permítanme decir algunas cosas sobre la eficacia. Supongo que esto es lo que realmente le interesa.
En primer lugar, por el momento no existe una versión efectiva (en general) de la declaración ineficaz anterior. Se puede esperar hacer algunas cosas en casos particulares.
Por ejemplo, en el caso de la dimensión uno, se puede consultar el capítulo 1 de la tesis de von Kaenel:
http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:2519/eth-2519-02.pdf
Tenga en cuenta que los resultados de la tesis de von Kaenel le dan (mucho) más que límites a las alturas de Faltings de las curvas elípticas con buena reducción en todas partes.
Además, cuando K es de discriminante pequeño, sabemos por resultados de Abrashkin-Fontaine, que no hay esquemas abelianos no triviales sobre O_K, por lo que se puede tomar el límite como cero cuando $d_K$ es como máximo 8. (Pero eso es barato...)
Por último, Rafael von Kaenel sabe cómo acotar las alturas de Faltings de ciertas clases de variedades abelianas explícitamente en términos de su comportamiento de reducción, y tal vez sus métodos también funcionan para acotar las alturas estables de Faltings de las variedades abelianas CM. Si está interesado, puede enviarnos un correo electrónico a él o a mí, ya que estos resultados aún no están disponibles.
Todo esto es muy interesante. En particular, acotar la altura de Faltings de las variedades abelianas de buena reducción en todas partes es un problema muy interesante (y difícil). Pero creo que el caso de CM es probable que sea mucho más fácil.
¡¡¡Muchas gracias por esta respuesta!!! Lo que realmente me interesa, es probar que en el caso principal simple de CM, la altura de Faltings es $<<_{\epsilon} d^{\epsilon}$ donde $d$ es el discriminante del anillo de endomorfismo, que es $O_K$ donde $K$ es un campo CM de grado $2g$ . Por supuesto, $K$ está relacionado con el campo de definición de $A$ sabemos que $A$ se define sobre el campo de clase Hilbert de $K$ pero parece muy difícil relacionar los límites que se pueden obtener por los métodos que mencionas con $\discr(O_K)$ ....
De nada. El tipo de límites que buscas parecen ser difíciles de obtener para variedades abelianas CM de mayor dimensión. Pero creo que son ciertamente interesantes y deberían tener incluso aplicaciones a las "Intersecciones improbables".
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(Esta pregunta es antigua pero ha sido resucitada, e incluso existe la posibilidad de que el autor del cartel sea Jacob (lo dudo porque tiene un perfil de MO, ¡pero sería gracioso! :) ), pero en cualquier caso he pensado que debería señalar, por si alguien se tropieza con esto en el futuro, que efectivamente se pueden utilizar los resultados hacia Colmez (más Brauer-Siegel, por supuesto) para obtener un buen límite ( $d_K^{o(1)}$ ) en dicha altura de Faltings. Ver arxiv.org/abs/1506.01466 para saber por qué).