Dado que $f(E)$ es compacto si y sólo si $E$ es, ¿podemos deducir la continuidad de $f$ ?

Question

Dejemos que $(X_1,d_1)$ y $(X_2,d_2)$ sean espacios métricos. Un criterio para la continuidad global de algunos $f:X_1\to X_2$ es que para todo lo cerrado $E\subseteq X_2$ , $f^{-1}(E)$ está cerrado. Esto es un corolario del teorema análogo para las contraimágenes de subconjuntos abiertos del codominio.

Otra condición necesaria es que la imagen de cualquier subconjunto compacto de $X_1$ ser compacto. Pero no es suficiente: por ejemplo, en $\mathbb{R}$ , $$ f(x)= \begin{cases} x & x\ge 0\\ \sin\frac1x & x <0 \end{cases} $$ la satisface, pero es discontinua en $x_0=0$ . Por otro lado, me he dado cuenta de que $f((-1,1))=[-1,1]$ así que intenté reforzar la condición, es decir, exigir la preimagen de cualquier subconjunto compacto de $X_2$ para ser compacto.

Vacuamente, funciona si $X_1$ y $X_2$ son discretos y finitos porque entonces todos sus subconjuntos son compactos y $f $ es continua en cada punto de $X_1$ porque cada uno está aislado. Por contrapositivo, creo que lo he demostrado también para $X_1\subseteq\mathbb{R}=X_2$ considerando un punto de discontinuidad de los diferentes tipos (excepto discontinuidades removibles no incluidas en el dominio, ya que así la función sigue siendo continua en él). No he tratado de generalizar, así que aquí está la pregunta:

Dejemos que $(X_1,d_1)$ y $(X_2,d_2)$ sean espacios métricos. Sea $f:X_1\to X_2$ sea tal que para todo $E\subseteq X_1$ , $f(E)$ es compacto si y sólo si $E$ es. Debe $f$ ser continua?

Answer 1

Sí, $f$ debe ser continua. Para los espacios métricos, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial (esto requiere alguna elección, pero la topología sin elección es muy extraña, así que asumimos la elección de todos modos).

Así que supongamos que $X_1, X_2$ son espacios métricos, y $f \colon X_1 \to X_2$ no es continua en $p$ . Entonces hay una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en $X_1 \setminus \{p\}$ y un $\varepsilon > 0$ tal que $x_n \to p$ y $d_2(f(x_n),f(p)) \geqslant \varepsilon$ para todos $n$ . El conjunto $A := \{ x_n : n \in \mathbb{N}\}$ no es compacto, mientras que $A \cup \{p\}$ es compacto. Pero como $f(p)$ tiene una distancia positiva con respecto a $f(A)$ el conjunto $f(A)$ es compacto si y sólo si $f(A) \cup \{f(p)\} = f(A\cup \{p\})$ es compacto. Por tanto, o bien hemos encontrado un conjunto compacto cuya imagen no es compacta, o bien hemos encontrado un conjunto no compacto cuya imagen es compacta.

Answer 2

La respuesta es sí. Supongamos por el contrario que $f$ fueran discontinuas, entonces hay una secuencia $x_n\to x$ en $X_1$ tal que $f(x_n)\not\to f(x)$ en $X_2$ . Entonces hay un poco de $\varepsilon>0$ tal que hay infinitas $n$ con $d_2(f(x_n),f(x))\ge\varepsilon$ . Tomando una subsecuencia del $x_n$ podemos suponer que $d_2(f(x_n),f(x))\ge\varepsilon$ para todos $n$ . Consideremos dos casos.

Caso 1. El conjunto $\{f(x_n):n\in\mathbb N\}$ es finito. Entonces dejemos que $E=\{x_n:n\in\mathbb N\}$ . Es fácil ver que $E$ no es compacto (ya que le falta su punto límite $x$ ), pero $f(E)$ es compacto ya que es finito.

Caso 2. El conjunto $\{f(x_n):n\in\mathbb N\}$ es infinito. Entonces (volviendo a una sucesión) podemos suponer que $f(x_n)\not=f(x_m)$ si $n\not=m$ . Dejemos que $E=\{x\}\cup\{x_n:n\in\mathbb N\}$ . Entonces $E$ es compacto, por lo tanto, por la suposición $f(E)$ es compacto. Como $\{f(x_n):n\in\mathbb N\}\subseteq f(E)$ la secuencia $\langle f(x_n):n\in\mathbb N\rangle$ debe tener una subsecuencia convergente con límite algún $y\in f(E)$ , digamos que $f(x_{n_k})\to y$ como $k\to\infty$ . Claramente $d_2(y,f(x))\ge\varepsilon$ así que $y\not=x$ . Dado que todos los $f(x_n)$ son diferentes podemos suponer que $y\not\in\{f(x_{n_k}):\in\mathbb N\}$ (si $y=f(x_{n_m})$ para algunos $m$ entonces $m$ es único y podemos descartar $x_{n_m}$ .) Ahora toma $C=\{x\}\cup\{x_{n_k}:k\in\mathbb N\}$ . Claramente $x_{n_k}\to x$ como $k\to\infty$ Por lo tanto $C$ es compacto. Entonces $f(C)$ no es compacto ya que no contiene el punto límite $y$ .

(Ahora déjame leer la respuesta más corta de Daniel Fisher que me ganó con 22 min. :) (¡Gracias también por señalar inexactitudes en mi respuesta!)